Teorema do Núcleo e da Imagem

Definição

    Dizemos que a transformação linear T é Injetora se a aplicação T for injetora. De mesmo modo, a transformação linear T é Sobrejetora se a aplicação T for sobrejetora. A transformação linear T é Bijetora se for injetora e sobrejetora. (Veja: Transformações Lineares).

    Teorema: Sejam U e V espaços vetoriais sobre um corpo $K$ e $T: U \longrightarrow V$ uma transformação linear. Então, T é injetora se, e somente se, $\mathcal{N}(T) = \left\lbrace e_U \right\rbrace$, ou seja, se o núcleo de T possui apenas o elemento neutro do domínio U.

    Demonstração: AQUI.

    Teorema do Núcleo e da Imagem: Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão finita sobre um corpo $K$. Considerando a transformação linear $T: U \longrightarrow V$, então:

$$dim(U) = dim(\mathcal{N}(T)) + dim(Im(T))$$
Ou seja, a soma das dimensões do núcleo e da imagem de T é igual a dimensão do domínio U.

    Demonstração: AQUI.

    Corolário: Sejam U e V espaços vetoriais de mesma dimensão e seja $T: U \longrightarrow V$ uma transformação linear. As seguintes afirmações são equivalentes:

        (a) T é sobrejetora.
        (b) T é bijetora.
        (c) T é injetora.
        (d) T transforma base de U em base de V.

    Demonstração: AQUI.

Exemplos

    Exemplo 1: Considere a transformação linear $T: R^3 \longrightarrow R$ dada por $T(x, y, z) = x + y - z$. Vamos determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de T.

    Um elemento $(x, y, z)$ de $R^3$ pertence ao núcleo de T se:

$$T(x, y, z) = x + y - z = 0 \Rightarrow x = -y +$$
Assim um elemento do núcleo de T é da forma:$(x, y, z) = (-y+z, y, z) = y(-1, 1, 0) + z(1, 0, 1)$. Assim, $\left\lbrace (-1, 1, 0), (1, 0, 1) \right\rbrace$ é um conjunto de geradores para o núcleo de T. Escalonando, podemos constatar que este conjunto é L.I. e assim, é uma base para $\mathcal{N}(T)$, logo, $dim(\mathcal{N}(T)) = 2$.

Vamos achar um conjunto de geradores para a imagem de T. A transformação T pode ser escrita da forma:

$$T(x, y, z) = x + y - z = 1(x+y-z)$$
Assim, $\left\lbrace 1 \right\rbrace$ é um conjunto de geradores para a imagem e por ser L.I., é uma base para $Im(T)$, assim, $dim(Im(T)) = 1$.

Observe que $dim(\mathcal{N}(T)) = 2$ e $dim(Im(T)) = 1$, logo $dim(\mathcal{N}(T)) + dim(Im(T)) = 3 = dim(R^3)$, como era de se esperar, pelo teorema do núcleo e da imagem.


    Exemplo 2: Determinar uma transformação linear $T:R^3 \longrightarrow R^3$ cuja imagem é gerada por $(2, 1, 1)$ e $(1, -1, 2)$.

    Como os elementos $(2, 1, 1)$ e $(1, -1, 2)$ são L.I. em $R^3$, temos que eles formam uma base para a imagem de T, logo, $dim(Im(T)) = 2$. Portanto, pelo teorema do núcleo e da imagem, sabemos que $dim(\mathcal{N}(T)) = 1$.

Desta forma, escolhemos uma base para $R^3$, por exemplo, a base canônica $B = \left\lbrace (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\right\rbrace$ e podemos definir, por exemplo, a transformação linear T da seguinte forma:

$$T(1, 0, 0) = (0, 0, 0), \;\;\;\;\;\; T(0, 1, 0) = (2, 1, 1), \;\;\;\;\;\; T(0, 0, 1) = (1, -1, 2)$$
Desta forma, a imagem será gerada pelo conjunto dado e o núcleo terá dimensão 1. Assim, teremos:

$$T(x, y, z) = x T(1, 0, 0) + y T(0, 1, 0) + z T(0, 0, 1) = x(0, 0, 0) + y(2, 1, 1) + z(1, -1, 2) \Rightarro$$$$\Rightarrow T(x, y, z) = (2y+z, y-z, y+2z)$$
Observe que a resposta não é única e depende da escolha da base para $R^3$ e também de quais elementos da base serão levados nos geradores da imagem.

    Exemplo 3: Determinar uma transformação linear $T: R^3 \longrightarrow R^3$ tal que:

$$\mathcal{N}(T) = \left\lbrace (x, y, z) \in R^3 \mid x+y+z = 0 \right\rbrace$$
    Um elemento $(x, y, z) \in R^3$ pertence ao núcleo de T se $x+y+z = 0 \Rightarrow x = -y-z$. Logo, um elemento do núcleo é da forma:

$$(x, y, z) = (-y-z, y, z) = y(-1, 1, 0) + z(-1, 0, 1)$$
Assim, $\left\lbrace (-1, 1, 0), (-1, 0, 1) \right\rbrace$ é um conjunto de geradores para o núcleo de T, e como é L.I., é uma base para $\mathcal{N}(T)$, portanto, $dim(\mathcal{N}(T)) = 2$. Pelo teorema do núcleo e da imagem, sabemos então que $dim(Im(T)) = 1$. Basta, portanto, completarmos a base $\left\lbrace (-1, 1, 0), (-1, 0, 1)\right\rbrace$ do núcleo e obter uma base para $R^3$.

Podemos escolher, por exemplo, o elemento $(1, 0, 0)$ e assim, o conjunto $\left\lbrace (-1, 1, 0), (-1, 0, 1), (1, 0, 0)\right\rbrace$ forma uma base para $R^3$.

Agora, basta tomarmos a imagem dos geradores de núcleo como sendo o elemento neutro do espaço de chegada, que no caso é $R^3$ e $T(1, 0, 0)$ linearmente independente, ou seja, nesse caso, qualquer elemento do $R^3$ que não seja o elemento neutro. Dessa forma, podemos definir, por exemplo, a transformação linear T da seguinte forma:

$$T(-1, 1, 0) = (0, 0, 0), \;\;\;\;\; T(-1, 0, 1) = (0, 0, 0), \;\;\;\;\; T(1, 0, 0) = (1, 0, 0)$$
Vamos obter as coordenadas de um elemento $(x, y, z) \in R^3$ com relação a base $\left\lbrace (-1, 1, 0), (-1, 0, 1), (1, 0, 0)\right\rbrace$:

$$(x, y, z) = \alpha_1 (-1, 1, 0) + \alpha_2 (-1, 0, 1) + \alpha_3 (1, 0, 0) \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} -\alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3 = x \\ \alpha_1 = y \\ \alpha_2 = z \end{array} \right. \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} \alpha_1 = y \\ \alpha_2 = z \\ \alpha_3 = x + y + z \end{array} \right.$$
Temos, portanto, $(x, y, z) = y(-1, 1, 0) + z(-1, 0, 1) + (x+y+z)(1, 0, 0)$. Logo,

$$T(x, y, z) = T(y(-1, 1, 0) + z(-1, 0, 1) + (x+y+z)(1, 0, 0)) =$$                                                                            $$= yT(-1, 1, 0) + zT(-1, 0, 1) + (x+y+z) T(1, 0, 0) = (x+y+z) (1, 0, 0) \Rightarrow$$
$$\Rightarrow T(x, y, z) = (x+y+z, x+y+z, x+y+z)$$
Assim, temos explicitamente a transformação T. Note que a resposta não é única e depende da escolha para completar a base do espaço de saída e da escolha dos elementos linearmente independentes que serão imagens dos elementos desta base.

    Veja estes e mais exemplos AQUI.

    Voltar ao Topo.