Cálculo de Determinantes

Vamos estudar um método para calcular determinantes que envolve menos operações do que o cálculo diretamente pela definição. A ideia é reduzir a matriz ao formato triangular superior (ou inferior) através de operações elementares, calcular o determinante da matriz triangular e, por fim, relacionar este determinante com o da matriz original.

Seja

A

uma matriz quadrada de ordem

n

. Considere que aplicamos operações elementares sobre as linhas (ou colunas) de

A

até reduzi-la a uma matriz triangular superior

R

(podemos também considerar

R

triangular inferior, e neste caso a ideia é semelhante). Portanto, existem matrizes elementares,

E_1, E_2, ..., E_r

, tais que:

(E_rE_{r-1}...E_2E_1)A = R

Assim, conforme a propriedade de determinantes que diz que se

E_1, ..., E_r

são matrizes elementares, então

det(E_rE_{r-1}...E_1A) = det(E_r)det(E_{r-1})...det(E_1)det(A)

det(E_rE_{r-1}...E_1A) = det(E_r)det(E_{r-1})...det(E_1)det(A)

, temos que:

det(E_rE_{r-1}...E_1A) = det(R) \Leftrightarrow

\Leftrightarrow det(E_r)det(E_{r-1})...det(E_1)det(A) = det(R)

Como os determinantes de matrizes elementares são sempre diferentes de zero, temos:

det(A) = \frac{det(R)}{det(E_r)det(E_{r-1})...det(E_1)}

e isso nos dá uma relação entre o determinante de

A

e o determinante de

R

. Como

R

é uma matriz triangular, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal, conforme a Propriedade 4, e portanto é fácil de ser calculado. Pela Propriedade 5 sabemos quais são os determinantes das matrizes elementares, conforme a operação elementar que elas representam. Portanto, pela relação que obtivemos, podemos calcular o determinante de

A

da seguinte forma:

1^{\underline{o}})

Reduzimos a matriz

A

até uma matriz triangular

R

;

2^{\underline{o}})

Calculamos o determinante de

R

, realizando o produto dos elementos da diagonal;

3^{\underline{o}})

Analisamos cada uma das operações elementares utilizadas no processo e seguimos as regras:

(i) Se a operação elementar for: permutar duas linhas da matriz, então trocamos o sinal do determinante de

R

;

(ii) Se a operação elementar for: multiplicar uma linha por um escalar

\alpha \neq 0

, então dividimos o determinante de

R

por

\alpha

;
(iii) Se a operação elementar for: adicionar à uma linha um múltiplo não nulo de outra, então o determinante não se altera.

No final do processo, obteremos o determinante de

A

.

Exemplo 1: Considere a seguinte matriz:

A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & -1 & 2 \end{array}\right]

Se permutarmos as linhas 2 e 3 dessa matriz obtemos uma matriz triangular superior:

A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & -1 & 2 \end{array}\right] \xrightarrow{l_2 \longleftrightarrow l_3} \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 3 & 8 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \end{array}\right] = R

A matriz

R

está na forma triangular superior e seu determinante é dado por:

det(R) = (1)(-1)(4) = -4

A operação elementar que utilizamos para reduzir

A

até a forma escalonada é do tipo (i) e, portanto, para obter o determinante de

A

devemos trocar uma vez o sinal do determinante de

R

, isto é,

det(A) = (-1)det(R) = (-1)(-4) \Rightarrow det(A) = 4

.

Exemplo 2: Vamos calcular o determinante da seguinte matriz através da redução por linhas:

A = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 4 \end{array}\right]

Aplicando as operações elementares

l_1 \longleftrightarrow l_2, l_3 \longleftarrow l_3 - 3l_1

l_3 \longleftarrow l_3 + \frac{1}{3}l_2

, nesta ordem, obtemos:

\left[ \begin{array}{ccc} 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 4 \end{array}\right] \xrightarrow{l_1 \longleftrightarrow l_2} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 4 \end{array}\right] \xrightarrow{l_3 \longleftarrow l_3 - 3l_1} \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \end{array}\right] \xrightarrow{l_3 \longleftarrow l_3 + \frac{1}{3}l_2} \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -\frac{5}{3} \end{array}\right] = R

A matriz

R

está na forma triangular superior e seu determinante é o produto dos elementos da diagonal, ou seja,

det(R) = (1)(3)\left( -\frac{5}{3}\right) = -5

A primeira operação elementar utilizada no processo de redução da matriz

A

é do tipo (i) e, portanto, para obter o determinante de

A

devemos trocar uma vez o sinal do determinante de

R

. As demais operações elementares são do tipo (iii) e não alteram o determinante. Assim, temos:

det(A) = (-1)det(R) = (-1)(-5) = 5

Portanto,

det(A) = 5

.

Exemplo 3: Considere a seguinte matriz:

A = \left[ \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right]

Utilizando operações elementares para reduzir

A

até sua forma escalonada, temos:

A = \left[ \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right] \xrightarrow{l_1 \longleftrightarrow l_2} \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right] \xrightarrow{l_2 \longleftarrow l_2 - 2l_1} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right] \xrightarrow{l_3 \longleftarrow l_3 - 2l_2}

\longrightarrow \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right] \xrightarrow{l_4 \longleftarrow l_4 - l_2} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right] \xrightarrow{l_4 \longleftarrow l_4 + l_3} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{array}\right] = R

A matriz

R

está na forma triangular superior e seu determinante é dado por:

det(R) = (1)(1)(-1)(6) = -6

A primeira operação elementar utilizada no processo de redução da matriz

A

é do tipo (i) e, portanto, para obter o determinante de

A

devemos trocar uma vez o sinal do determinante de

R

. As demais operações elementares são do tipo (iii) e não alteram o determinante. Assim, temos:

det(A) = (-1)det(R) = (-1)(-6) = 6

Portanto,

det(A) = 6

.

Exemplo 4: Considere a seguinte matriz:

A = \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -2 & 0 \\ 2 & 3 & -4 & 1 \\ -1 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 5 & 3 \end{array}\right]

Utilizando operações elementares para reduzir

A

até sua forma escalonada, temos:

A = \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -2 & 0 \\ 2 & 3 & -4 & 1 \\ -1 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 5 & 3 \end{array}\right] \xrightarrow{l_2 \longleftarrow l_2 - 2l_1} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 5 & 3 \end{array}\right] \xrightarrow{l_3 \longleftarrow l_3 + l_1} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & 5 & 3 \end{array}\right] \longrightarrow

\xrightarrow{l_4 \longleftarrow l_4 + 2l_2} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 5 \end{array}\right] \xrightarrow{l_4 \longleftarrow l_4 + \frac{5}{2}l_3} \left[ \begin{array}{rrrc} 1 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{array}\right] = R

A matriz

R

está na forma triangular superior e seu determinante é dado por:

det(R) = (1)(-1)(-2)(10) = 20

Todas as operações elementares utilizadas no processo de redução da matriz

A

são do tipo (iii) e, portanto, não alteram o determinante, isto é,

det(A) = det(R)

. Portanto,

det(A) = 20

.

Exemplo 5: Considere a seguinte matriz:

A = \left[ \begin{array}{rrrrc} 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 3 & -2 & 0 & 0 & 6 \\ 5 & 4 & 2 & 0 & 10 \\ 1 & 3 & 1 & 7 & 2 \\ 6 & 3 & 1 & 5 & 4 \end{array}\right]

Poderíamos calcular o determinante de

A

usando operações elementares sobre linhas para reduzir

A

até a forma escalonada. Porém, observando a matriz, note que podemos colocá-la na forma triangular inferior apenas adicionando à coluna 5 a coluna 1 multiplicada por -2. Assim, temos:

A = \left[ \begin{array}{rrrrc} 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 3 & -2 & 0 & 0 & 6 \\ 5 & 4 & 2 & 0 & 10 \\ 1 & 3 & 1 & 7 & 2 \\ 6 & 3 & 1 & 5 & 4 \end{array}\right] \xrightarrow{c_4 \longleftarrow c_4 - 2c_1} \left[ \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 1 & 7 & 0 \\ 6 & 3 & 1 & 5 & -8 \end{array}\right] = R

A matriz

R

está na forma triangular superior e seu determinante é dado por:

det(R) = (1)(-2)(2)(7)(-8) = 224

Todas as operações elementares utilizadas no processo de redução da matriz

A

são do tipo (iii) e, portanto, não alteram o determinante, isto é,

det(A) = det(R)

. Portanto,

det(A) = 224

.

Exemplo 6: Considere a seguinte matriz:

A = \left[ \begin{array}{rrrrr} 1 & 3 & 1 & 5 & 3 \\ -2 & -7 & 0 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]

Utilizando operações elementares para reduzir

A

até sua forma escalonada, temos:

A = \left[ \begin{array}{rrrrr} 1 & 3 & 1 & 5 & 3 \\ -2 & -7 & 0 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{l_2 \longleftarrow l_2 + 2l_1} \left[ \begin{array}{rrrrr} 1 & 3 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & -1 & 2 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{l_4 \longleftarrow l_4 - 2l_3}

\longrightarrow \left[ \begin{array}{rrrrr} 1 & 3 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & -1 & 2 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{l_5 \longleftarrow l_5 - l_4} \left[ \begin{array}{rrrrr} 1 & 3 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & -1 & 2 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right] = R

A matriz

R

está na forma triangular superior e seu determinante é dado por:

det(R) = (1)(-1)(1)(1)(2) = -2

Todas as operações elementares utilizadas no processo de redução da matriz

A

são do tipo (iii) e, portanto, não alteram o determinante, isto é,

det(A) = det(R)

. Portanto,

det(A) = -2

.

Exemplo 7: Considere a seguinte matriz:

A = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 6 & 9 & 3 \end{array}\right]

Utilizando operações elementares para reduzir

A

até sua forma escalonada, temos:

A = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 6 & 9 & 3 \end{array}\right] \xrightarrow{l_2 \longleftarrow l_2 - 2l_1} \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 4 & 2 \\ 0 & -5 & -3 \\ 6 & 9 & 3 \end{array}\right] \xrightarrow{l_3 \longleftarrow l_3 - 6l_1} \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 4 & 2 \\ 0 & -5 & -3 \\ 0 & -15 & -9 \end{array}\right] \xrightarrow{l_3 \longleftarrow l_3 - 3l_2}

\longrightarrow \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 4 & 2 \\ 0 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] = R

A matriz

R

está na forma triangular superior e seu determinante é dado por:

det(R) = (1)(-5)(0) = 0

Todas as operações elementares utilizadas no processo de redução da matriz

A

são do tipo (iii) e, portanto, não alteram o determinante, isto é,

det(A) = det(R) = 0

. Dessa forma, sabemos que

A

é singular, ou seja, não inversível. Note que a forma escalonada de

A

possui uma linha nula e isto ocorre pois as linhas 2 e 3 são linearmente dependentes, ou seja, uma é um múltiplo da outra. Mais especificamente, temos que

l_3 = 3l_2

.

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Última Atualização: 07/06/2019.