Mudança de Base

Definição

    Em certos problemas é melhor trabalharmos em um determinado referencial, para facilitar os cálculos numéricos e/ou a visualização do problema. Se estamos trabalhando sobre um determinado espaço vetorial, o ideal é fixar uma base para representar este espaço.
É necessário termos um procedimento para realizar de modo rápido a mudança de base, isto é, conhecidas as coordenadas de  um elemento em relação a uma base, saber como representar as coordenadas deste mesmo elemento em relação à base pré-fixada, e vice-versa.

    Sejam $B = \left\lbrace u_1, u_2, ..., u_n \right\rbrace$ e $C = \left\lbrace w_1, w_2, ..., w_n \right\rbrace$  duas bases ordenadas para um espaço vetorial V.

Considerando um elemento $v \in V$, podemos escrevê-lo como combinação linear dos elementos de B ou de C:

$$v = \alpha_1u_1 + ... + \alpha_n u_n$$e
$$v = \beta_1 w_1 + ... + \beta_n w_n \;\;\;(1)$$
Ou seja, temos que as Coordenadas de v com relação a base B e com relação a base C são:

$$[v]_{B} = \left[ \begin{array}{c} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{array}\right] e [v]_{C} = \left[ \begin{array}{c} \beta_1 \\ \vdots \\ \beta_n \end{array}\right]$$
Como B é base para V, podemos escrever os elementos $w_i$ da base C como combinação linear dos elementos $u_i$ da base B, pois os elementos de C pertencem a V, ou seja:
$$\left\lbrace \begin{array}{c} w_1 = a_{11} u_1 + a_{21} u_2 + ... + a_{n1} u_n \\ w_2 = a_{12} u_1 + a_{22} u_2 + ... + a_{n2} u_n \\ \vdots \\ w_n = a_{1n} u_1 + a_{2n} u_2 + ... + a_{nn} u_n \end{array} \right.$$
Substituindo essas relações na equação $(1)$, obtemos:
$$v = \beta_1 w_1 + \beta_2 w_2 + ... + \beta_n w_n \Righta$$
$$\Rightarrow v={\beta }_1(a_{11}{u}_1+a_{21}{u}_2+...+a_{n1}{u}_n)+{\beta }_2(a_{12}{u}_1+a_{22}{u}_2+...+a_{n2}{u}_n)+...+{\beta }_n(a_{1n}{u}_1+a_{2n}{u}_2+...+a_{nn}{u}_n)\Rightarrow$$$$\Rightarrow v = \beta_1 (a_{11} u_1 + a_{21} u_2 + ... + a_{n1} u_n) + \beta_2 (a_{12} u_1 + a_{22} u_2 + ... + a_{n2} u_n) + ... + \beta_n (a_{1n} u_1 + a_{2n} u_2 + ... + a_{nn} u_n) \Rightarrow$$$$\Rightarrow v = (a_{11} \beta_1 + a_{12} \beta_2 + ... + a_{1n} \beta_n) u_1 + ... + (a_{n1} \beta_1 + a_{n2} \beta_2 + ... + a_{nn} \beta_n) u_n$$
Mas, também temos que:
$$v = \alpha_1 u_1 + ... + \alpha_n u_n$$
E como, as coordenadas com relação a uma base são únicas, temos:

$$\begin{array}{c} \alpha_1 = a_{11} \beta_1 + a_{12} \beta_2 + ... + a_{1n} \beta_n \\ \alpha_2 = a_{21} \beta_1 + a_{22} \beta_2 + ... + a_{2n} \beta_n \\ \vdots \\ \alpha_n = a_{n1} \beta_1 + a_{n2} \beta_2 + ... + a_{nn} \beta_n \end{array}$$
Ou seja,
$$\left[ \begin{array}{c} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} a_{11} & ... & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & ... & a_{nn} \end{array}\right] \left[ \begin{array}{c} \beta_1 \\ \vdots \\ \beta_n \end{array}\right]$$

    Definição: Seja V um espaço vetorial e B e C duas bases ordenadas para V. A matriz denotada por:
$$[I]^C_B = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{array}\right]$$
É a Matriz de Mudança da base B para a base C. E podemos obter as coordenadas de um elemento $v \in V$ com relação a base B, considerando conhecidas suas coordenadas com relação a base C, da forma:
$$[v]_B = [I]_{B}^{C} [v]_C$$
Observe que a i-ésima coluna da matriz $[I]_{B}^{C}$ são as coordenadas do elemento $w_i$ da base C, com relação a base B.

    Observação: Não há um consenso sobre a notação utilizada para a matriz de mudança de base. Neste texto seguiremos a notação do livro Álgebra Linear e Aplicações, do autor Callioli. É importante a ordem em que escrevemos essa notação. Se começarmos a construção anterior escrevendo os elementos da base B como combinação linear dos elementos da base C, chegaremos a relação:
$$[v]_C = [I]_C^B[v]_B$$
onde $[I]_C^B$ é a Matriz de Mudança da Base C para a base B. As matrizes $[I]_C^B$ e $[I]_B^C$ são invertíveis e:

$$([I]^B_C)^{-1} = [I]^C_B$$

    Voltar ao Topo.

Exemplos

    Exemplo 1: Considere as bases $B = \left\lbrace (1,0), (0,1) \right\rbrace$ e $C = \left\lbrace (1,1), (0,1) \right\rbrace$ para $R^2$. Determine a matriz de mudança da base B para a base C.

Vamos escrever os elementos da base C como combinação linear dos elementos da base B. Temos que:

$$(1,1) = 1(1,0) + 1(0,1)$$
$$(0,1) = 0(1,0) + 1(0,1)$$
Assim, a matriz de mudança da base B para a base C é dada por:

$$[I]^C_B = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right]$$

    Exemplo 2: Considere a matriz de mudança da base C para a base B de $R^3$:

$$[I]^B_C = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{array}\right]$$
Se o elemento $v \in R^3$ tem matriz de coordenadas com relação a base B dada por:

$$[v]_B = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right]$$
Determine a matriz de coordenadas de v com relação a base C.

Temos que:
$$[v]_C = [I]^B_C [v]_B \Rightarrow [v]_C = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{array}\right] \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right] \Rightarrow$$
$$\Rightarrow [v]_C = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right]$$
que é a matriz de coordenadas de v com relação a base C.

    Exemplo 3: Considere o espaço vetorial $R^2$. Determine a matriz de mudança da base $B = \left\lbrace (-1,1), (1,1) \right\rbrace$ para a base $C = \left\lbrace (-3,-1), (-1, 3) \right\rbrace$

Para determinar a matriz de mudança da base B para a base C escrevemos cada elemento da base C como combinação linear dos elementos da base B:

$$(-3, -1) = a_{11} (-1,1) + a_{21} (1,1) \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{c} -a_{11} + a_{21} = -3 \\ a_{11} + a_{21} = -1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{c} a_{11} = 1\\ a_{21} = -2 \end{array} \right.$$
$$(-1,3) = a_{12} (-1,1) + a_{22} (1,1) \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{c} -a_{12} + a_{22} = -1 \\ a_{12} + a_{22} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{c} a_{12} = 2 \\ a_{22} = 1 \end{array} \right.$$
Assim, obtemos dois sistemas lineares cujas soluções são as coordenadas dos elementos de C com relação a base B, escrevendo essas coordenadas como colunas de uma matriz, temos:
$$[I]^B_C = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2\\ -2 & 1 \end{array}\right]$$
que é a matriz de mudança da base B para a base C.

    Exemplo 4: Considere as bases $B = \left\lbrace (-1,1), (1,1)\right\rbrace$ e $C = \left\lbrace u_1, u_2\right\rbrace$. A matriz de mudança da base B para a base C é dada por:

$$[I]^C_B = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & -2 \end{array}\right]$$
Determine a base C.

Como $[I]^C_B$ é a matriz de mudança da base B para a base C, suas colunas são as coordenadas dos elementos de C como combinação linear dos elementos da base B, ou seja, a i-ésima coluna de $[I]^C_B$ são as coordenadas do elemento $u_i$ da base C com relação a base B:

$$u_1 = 1(-1,1) + 3(1,1) = (2,4)$$
$$u_2 = 2(-1,1) - 2(1,1) = (-4, 0)$$
Assim, temos que $C = \left\lbrace (2,4), (-4,0)\right\rbrace$.

    Veja estes e mais exemplos AQUI.

    Voltar ao Topo.