Subespaços Gerados

Definições

    Definição: Sejam V $$um espaço vetorial sobre um corpo K, e $S = \left\lbrace v_1, ..., v_n\right\rbrace$ um subconjunto finito de V. O subconjunto U de todos os elementos $u \in V$ que podem ser escritos como combinação linear dos elementos de S é um subespaço vetorial denominado Subespaço Gerado por S.
 $$U = \left\lbrace u \in V \mid u = \alpha_1 v_1+...+ \alpha_nv_n = \sum_{i=1}^{n} \alpha_iv_i \; ; \; \alpha_1 ,..., \alpha_n \in K \right\rbrace$$

    Definição: S é denominado Conjunto de Geradores para U. Dizemos também que S gera o subespaço U.
           
            Notação: Podemos escrever U = [$v_1, ..., v_n$] ou U=[S].

    Teorema: Seja S um conjunto finito de elementos de um espaço vetorial V. O conjunto de todas as combinações lineares dos vetores de S, denotado por [S], forma um subespaço vetorial de V.
    Demonstração: AQUI.

    Definição: Um espaço vetorial V é finitamente gerado se existe um subconjunto S $\subset$ V de modo que V = [S].

Exemplos

    Exemplo 1: O conjunto $S = \left\lbrace (1,2)\right\rbrace \in R^2$ gera o subespaço $U=\left\lbrace (x,y) \in R^2 \mid y=2x\right\rbrace$.

De fato, tomando um elemento $u=(x,y) \in U$, temos que $y=2x$, logo podemos escrever:

$u=(x,y)=(x,2x) = x(1,2)$, com $x \in R$

Dessa forma, mostramos que qualquer elemento de U pode ser escrito como combinação linear dos elementos de S, assim, S é um conjunto de geradores para U.

Geometricamente, o elemento de S é o vetor $u=(1,2)$ e o subespaço U é a reta $y=2x$, e de fato, essa reta é gerada pelo vetor $u=(1,2)$.

    Exemplo 2: O conjunto $S=\left\lbrace (1,2,1), (2,0,-1)\right\rbrace$ é um conjunto de geradores para o subespaço $U=\left\lbrace (x,y,z) \in R^3 \mid 2x-3y+4z=0 \right\rbrace$.