Ortogonalidade
Página Inicial
ESPAÇOS VETORIAIS
Espaços Vetoriais
Subespaços Vetoriais
Combinação Linear
Subespaços Gerados
Intersecção de Subespaços
Soma de Subespaços
Dependência Linear
Base e Dimensão
Mudança de Base

TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Transformações Lineares
Núcleo e Imagem
Teorema do Núcleo e da Imagem
Isomorfismo e Automorfismo
Álgebra das Transformações Lineares
Matriz de uma Transformação

AUTOVALORES E AUTOVETORES
Autovalores e Autovetores
Polinômio Característico
Diagonalização

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO
Produto Interno
Norma e Distância
Ortogonalidade

DETERMINANTES
Determinantes
Propriedades do Determinante
Cálculo de Determinantes

SISTEMAS LINEARES
Sistemas Lineares
Operações Elementares
Sistemas Triangulares
Eliminação Gaussiana

FATORAÇÕES MATRICIAIS
Fatoração LU
Fatoração de Cholesky
Fatoração Ortogonal
Fatoração QR - Processo de Gram-Schmidt
Fatoração QR - Transformações de Householder

QUADRADOS MÍNIMOS
Método de Quadrados Mínimos
Ajuste de Curvas
Problemas Aplicados

 OUTRAS APLICAÇÕES
Curvas e Superfícies por Pontos Especificados
Criptografia
Jogos de Estratégia
Classificação de Cônicas


Ângulo e Ortogonalidade

Sejam uu e vv dois elementos não nulos de um espaço vetorial com produto interno VV. Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz temos que:

|⟨u,v⟩|≤‖u‖‖v‖\left| \langle u,v \rangle \right| \leq \left\| u \right\| \left\| v \right\|
Elevando ao quadrado em ambos os lados obtemos:

⟨u,v⟩2≤‖u‖2‖v‖2⇔[⟨u,v⟩‖u‖‖v‖]2≤1\langle u,v \rangle^2 \leq \left\| u \right\|^2 \left\| v \right\|^2 \Leftrightarrow \left[ \frac{\langle u,v \rangle}{\left\| u \right\| \left\| v \right\|}\right]^2 \leq 1
De onde obtemos que:

-1≤⟨u,v⟩‖u‖‖v‖≤1-1 \leq \frac{\langle u,v \rangle}{\left\| u \right\| \left\| v \right\|} \leq 1
Portanto, existe um único ângulo θ\theta tal que

cos(θ)=⟨u,v⟩‖u‖‖v‖\cos(\theta) = \frac{\langle u,v \rangle}{\left\| u \right\| \left\| v \right\|}
com 0≤θ≤π0 \leq \theta \leq \pi, uma vez que se θ\theta é o ângulo cuja medida em radianos varia de 0 a π\pi, então cos(θ)\cos(\theta) assume cada valor no intervalo [-1,1][-1,1] uma única vez.


Definição: Seja VV um espaço vetorial com produto interno. O ângulo entre dois elementos não nulos u,v∊Vu, v \in V é definido como sendo o único valor θ\theta que satisfaz a equação:

cos(θ)=⟨u,v⟩‖u‖‖v‖\cos(\theta) = \frac{\langle u,v \rangle}{\left\| u \right\| \left\| v \right\|}
com 0≤θ≤π0 \leq \theta \leq \pi.


Definição: Seja VV um espaço vetorial com produto interno. Dizemos que dois elementos u,v∊Vu,v \in V são ortogonais se, e somente se, ⟨u,v⟩=0\langle u,v \rangle = 0. Observe que:

⟨u,v⟩=0⇔cos(θ)=⟨u,v⟩‖u‖‖v‖=0⇔θ=π2\langle u,v \rangle = 0 \Leftrightarrow \cos(\theta) = \frac{\langle u,v \rangle}{\left\| u \right\| \left\| v \right\|} = 0 \Leftrightarrow \theta = \frac{\pi}{2}
para 0≤θ≤π0 \leq \theta \leq \pi, mostrando que dois elementos u,v∊Vu, v \in V são ortogonais se, e somente se, o ângulo entre eles tem medida π2\frac{\pi}{2}.


Exemplo 1: Considere os elementos u=(2,2)u = (2,2) e v=(2,-2)v = (2,-2) do R2R^2 com produto interno Euclidiano. Temos que:

⟨u,v⟩=(2)(2)+(2)(-2)=4-4=0\langle u,v \rangle = (2)(2) + (2)(-2) = 4 - 4 = 0
Portanto, os elementos uu e vv são ortogonais em R2R^2 com relação ao produto interno Euclidiano.
ex1_orto
Figura 1: os vetores u e v são ortogonais.


Observe que a ortogonalidade depende do produto interno. Dois vetores podem ser ortogonais em relação a um produto interno mas não a outro.


Definição: Um conjunto de elementos em um espaço vetorial com produto interno é dito um conjunto ortogonal se quaisquer dois elementos desse conjunto são ortogonais. Um conjunto ortogonal no qual cada elemento tem norma igual a 1 é dito um conjunto ortonormal.


Exemplo 2: Considere u1=(1,0,0),u2=(0,2,1)u_1 = (1, 0, 0), u_2 = (0, 2, 1) e u3=(0,1,-2)u_3 = (0, 1, -2) elementos do espaço vetorial R3R^3 com produto interno Euclidiano. Temos que:

⟨u1,u2⟩=(1)(0)+(0)(2)+(0)(1)=0\langle u_1, u_2\rangle = (1)(0) + (0)(2) + (0)(1) = 0
⟨u1,u3⟩=(1)(0)+(0)(1)+(0)(-2)=0\langle u_1, u_3\rangle = (1)(0) + (0)(1) + (0)(-2) = 0
⟨u2,u3⟩=(0)(0)+(2)(1)+(1)(-2)=0\langle u_2, u_3\rangle = (0)(0) + (2)(1) + (1)(-2) = 0
Portanto, o conjunto S={u1,u2,u3}S = \left\lbrace u_1, u_2, u_3 \right\rbrace é ortogonal com relação ao produto interno Euclidiano.


Normalização: Se vv é um elemento não nulo de um espaço vetorial com produto interno, então pelas propriedades da norma temos que:

‖v‖v‖‖=‖1‖v‖v‖=|1‖v‖|‖v‖=1‖v‖‖v‖=1\left\| \frac{v}{\left\| v \right\|} \right\| = \left\| \frac{1}{\left\| v \right\|} v\right\| = \left|\frac{1}{\left\| v \right\|} \right| \left\| v\right\| = \frac{1}{\left\| v \right\|} \left\| v\right\| = 1
Isto é, sempre que dividimos um elemento não nulo pela sua norma obtemos um outro vetor cuja norma é 1. Esse processo é denominado normalização. Um conjunto ortogonal de elementos não nulos pode sempre ser convertido em um conjunto ortonormal normalizando cada um de seus elementos.


Exemplo 3: Considere u1=(1,0,0),u2=(0,2,1)u_1 = (1, 0, 0), u_2 = (0, 2, 1) e u3=(0,1,-2)u_3 = (0, 1, -2) elementos do espaço vetorial R3R^3 com produto interno Euclidiano. Como vimos no exemplo anterior, o conjunto S={u1,u2,u3}S = \left\lbrace u_1, u_2, u_3\right\rbrace é ortogonal. As normas euclidianas dos elementos de SS são:

‖u1‖2=1,‖u2‖2=5e‖u3‖2=5\left\| u_1 \right\|_2 = 1, \;\;\;\; \left\| u_2 \right\|_2 = \sqrt{5} \;\;\; e \;\;\; \left\| u_3 \right\|_2 = \sqrt{5}
Normalizando os elementos u1,u2u_1, u_2 e u3u_3 obtemos:

v1=u1‖u1‖2=(1,0,0)v_1 = \frac{u_1}{\left\| u_1 \right\|_2} = (1,0,0)
v2=u2‖u2‖2=15(0,2,1)=(0,25,15)v_2 = \frac{u_2}{\left\| u_2 \right\|_2} = \frac{1}{\sqrt{5}}(0,2,1) = \left( 0,\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}} \right)
v3=u3‖u3‖2=15(0,1,-2)=(0,15,-25)v_3 = \frac{u_3}{\left\| u_3 \right\|_2} = \frac{1}{\sqrt{5}}(0,1,-2) = \left( 0,\frac{1}{\sqrt{5}},-\frac{2}{\sqrt{5}} \right)
Observe que os elementos v1,v2v_1, v_2 e v3v_3 têm norma euclidiana igual a 1 e são ortogonais entre si. Portanto, o conjunto S¯={v1,v2,v3}\bar{S} = \left\lbrace v_1, v_2, v_3 \right\rbrace é ortonormal.


Teorema 1: Se S={v1,v2,...,vn}S = \left\lbrace v_1, v_2, ..., v_n \right\rbrace é um conjunto ortogonal de elementos não nulos de um espaço vetorial com produto interno, então SS é linearmente independente.


Voltar ao Topo.

Bases Ortogonais

Definição: Seja VV um espaço vetorial com produto interno. Uma base de VV consistindo de elementos ortogonais é denominada base ortogonal e uma base consistindo de elementos ortonormais é denominada base ortonormal.


Exemplo 4: A base canônica C={i,j,k}C = \left\lbrace i,j,k \right\rbrace do R3R^3 com o produto interno Euclidiano, sendo:

i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)i = (1,0,0), \;\;\; j = (0,1,0), \;\;\; k = (0,0,1)
é uma base ortonormal. De fato, os vetores i,ji, j e kk têm norma euclidiana igual a 1 e são ortogonais entre si. Em geral, no RnR^n com produto interno Euclidiano a base canônica é ortonormal.


Teorema 2: Sejam VV um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno, B={v1,v2,...,vn}B = \left\lbrace v_1, v_2, ..., v_n\right\rbrace uma base ortogonal de VV e uu um elemento qualquer de VV. Então, podemos escrever o elemento uu de modo único da forma:

u=⟨u,v1⟩⟨v1,v1⟩v1+⟨u,v2⟩⟨v2,v2⟩v2+...+⟨u,vn⟩⟨vn,vn⟩vnu = \frac{\langle u, v_1\rangle}{\langle v_1, v_1\rangle} v_1 + \frac{\langle u, v_2\rangle}{\langle v_2, v_2\rangle} v_2 + ... + \frac{\langle u, v_n\rangle}{\langle v_n, v_n\rangle} v_n
No caso em que B é uma base ortonormal, temos ⟨vi,vi⟩=‖vi‖2=1\langle v_i, v_i\rangle = \left\| v_i\right\|^2 = 1 e assim, cada elemento u∊Vu \in V pode ser escrito de modo único da forma:

u=⟨u,v1⟩v1+⟨u,v2⟩v2+...+⟨u,vn⟩vnu = \langle u, v_1\rangle v_1 + \langle u, v_2\rangle v_2 + ... + \langle u, v_n\rangle v_n
E [u]B=(⟨u,v1⟩,⟨u,v2⟩,...,⟨u,vn⟩)[u]_B = \left( \langle u, v_1\rangle, \langle u, v_2\rangle, ..., \langle u, v_n\rangle \right) é o vetor de coordenadas de uu em relação a base ortonormal B.


Voltar ao Topo.

Matrizes Ortogonais

Definição: Uma matriz Q∊Rn×RnQ \in R^n \times R^n inversível é denominada matriz ortogonal se:

Q-1=QtQ^{-1} = Q^t
Dessa definição segue que QQ é ortogonal se, e somente se: QQt=QtQ=InQQ^t = Q^tQ = I_n.


Teorema 3: Se A:n×nA:n\times n e B:n×nB:n \times n são matrizes ortogonais, então valem as seguintes propriedades:

(a) A-1A^{-1} é ortogonal.
(b) ABAB é ortogonal.
(c) det(A)=±1det(A) = \pm 1.


Teorema 4: Seja A:n×nA: n \times n uma matriz. As seguintes afirmações são equivalentes:

(a) AA é ortogonal;
(b) Os vetores linha de AA formam um conjunto ortonormal do RnR^n em relação ao produto interno Euclidiano;
(c) Os vetores coluna de AA formam um conjunto ortonormal do RnR^n em relação ao produto interno Euclidiano.


Teorema 5: Sejam A:n×nA:n \times n uma matriz, xx e yy elementos do espaço vetorial RnR^n com produto interno. Então, as seguintes afirmações são equivalentes:

(a) AA é ortogonal;
(b) ⟨Ax,Ay⟩=⟨x,y⟩\langle Ax, Ay \rangle = \langle x,y \rangle (A preserva ângulo);
(c) ‖Ax‖=‖x‖\left\| Ax \right\| = \left\| x \right\| (A preserva norma).


Demonstrações dos Teoremas: AQUI.


Voltar ao Topo.
Última Atualização: 01/02/2016.