Exemplo 3: Sejam $U = \left\lbrace(x,y,z,t) \in R^4 \mid x+y = 0 \,\,\mbox{e} \,\, z-t=0\right\rbrace$  e$W = \left\lbrace(x,y,z,t) \in R^4 \midx-y-z+t=0\right\rbrace$ subespaços de $R^4$. Determine a intersecção $U \cap W$.

Um elemento de $R^4$, que pertence a intersecção de U e W deve satisfazer todas as condições dos dois conjuntos U e W ao mesmo tempo, ou seja, suas componentes devem satisfazer o sistema:
$$\left\lbrace\begin{array}{l} x+y = 0 \Longrightarrowx = -y \\ z-t = 0 \Longrightarrow z =t\\ x-y-z+t = 0 \end{array}\right.$$ 
Substituindo a primeira e a segunda equações na terceira equação, teremos: $-y-y-t+t = 0 \Rightarrow-2y = 0 \Rightarrow y=0$. Assim, ficamos com as condições: $x=y=0$ e $z=t$, com $z,t \in R$ livres. Logo:
$$U \cap W = \left\lbrace(x,y,z,t) \in R^4 \mid x=y=0 \,\,\mbox{e} \,\, z=t \right\rbrace$$
Podemos também dar um valor para a variável z que está livre, por exemplo $z=1$, assim teremos $x=y=0$ e $z=t=1$, logo a intersecção $U \cap W$ será o subespaço gerado pelo vetor $(0,0,1,1)$, ou seja, $U \cap W = [(0,0,1,1)]$.

    Veja estes e mais exemplos AQUI.

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    União de Subespaços Vetoriais

    Observação: Quando se fala em conjuntos, é comum pensarmos também na união desses conjuntos. Uma vez que a intersecção de dois subespaços é um subespaço vetorial, esperamos o mesmo da união dos subespaços, mas isso não ocorre. Tomando um elemento $u \in U$ e um elemento $w \in W$ que não está em U, ou seja, U não está contido em W ou vice-versa, não podemos afirmar nada sobre o elemento $u + w$, não necessariamente ele estará na união $U \cup W$. Assim, $U \cup W$ não satisfaz todas as condições de subespaço vetorial. Portanto, a união de dois subespaços vetoriais NÃO é um subespaço vetorial.

    Exemplo: Sejam os subespaços $U=\left\lbrace (x,y) \inR^2 \mid y=0 \right\rbrace$ e $W = \left\lbrace (x,y)\in R^2 \mid x=0 \right\rbrace$. A união entre U e W será o conjunto: 

$$U \cup W = \left\lbrace(x,y) \in R^2 \mid x=0 \,\, \mbox{ou}\,\, y=0 \right\rbrace$$
O elemento neutro $(0,0)$ está em U e em W e logo, está também na união. Mas, tome os elementos $u, w \in U \cup W$, não podemos garantir que a soma dos vetores u e w estará em $U \cup W$.
Por exemplo, considere $u=(1,0)$ e $w=(0,1)$. Temos que $u, w \in U \cup W$, mas $u+w = (1,0) + (0,1) =(1,1)$, que é um vetor que não satisfaz nenhuma das condições do conjunto da união, logo $u+w \notin U \cup W$.