Exemplo 1: $\left\lbrace (1,0), (0,1) \right\rbrace$ é uma base para o espaço vetorial real $R^2$, que chamamos de base canônica do $R^2$.

De fato, o conjunto $\left\lbrace (1,0), (0,1) \right\rbrace$ é L.I., uma vez que a equação:

$$\alpha_1(1,0) + \alpha_2(0,1) = (0,0)$$
só é possível para $\alpha_1 = \alpha_2 = 0$. E além disso, o conjunto gera todo o $R^2$, uma vez que qualquer $v = (x,y) \in R^2$ pode ser escrito como $(x,y) = x(1,0) + y(0,1)$.
Assim, $\left\lbrace (1,0), (0,1) \right\rbrace$ é uma base para $R^2$.

Portanto, $dim(R^2) = 2$.


    Exemplo 2: $\left\lbrace (1,0), (0,1), (2,1) \right\rbrace$ NÃO é uma base para $R^2$.

Podemos escrever o elemento $(2,1)$ como combinação linear de $(1,0)$ e $(0,1)$ da forma: $(2,1) = 2(1,0) + 1(0,1) \Rightarrow 2(1,0) + 1(0,1) - 1(2,1) = (0,0)$. Portanto, temos que $\left\lbrace (1,0), (0,1), (2,1)\right\rbrace$ não é L.I., logo não pode ser uma base para $R^2$.


    Exemplo 3: $\left\lbrace (1,0,1), (2,0,0) \right\rbrace$ NÃO é uma base para $R^3$.

O conjunto $\left\lbrace (1,0,1), (2,0,0) \right\rbrace$ é L.I., porém não gera todo o $R^3$. Tome um $v = (x,y,z) \in R$, não podemos escrever qualquer elemento dessa forma como combinação linear de $\left\lbrace (1,0,1), (2,0,0) \right\rbrace$, uma vez que:

$$(x,y,z) = \alpha_1(1,0,1) + \alpha_2(2,0,0) \Rightarrow \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{rr} \alpha_1 + 2 \alpha_2 = x \\ 0 = y \\ \alpha_1 = z \end{array}\right.$$
Ou seja, temos uma restrição para a coordenada $y$ do vetor $(x,y,z) \in R^3$, ou seja, o conjunto$\left\lbrace (1,0,1), (2,0,0) \right\rbrace$ gera apenas os elementos da forma $(x,0,z)$, mas não gera todo o $R^3$, portanto, não pode ser uma base para $R^3$.


    Exemplo 4: $\left\lbrace 1, x, x^2, ..., x^n\right\rbrace$ é uma base para o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a $n$, $P_n(R)$, conhecida como base canônica de $P_n(R)$.

De fato, o conjunto$\left\lbrace 1, x, x^2, ..., x^n\right\rbrace$ é L.I. uma vez que:
$$\alpha_1 + \alpha_2x + \alpha_3x^2 + ... + \alpha_{n+1} x^n = 0 + 0x + 0x^2 + ... + 0x^n$$
só vale para $\alpha_1 = \alpha_2 = ... = \alpha_{n+1} = 0$, uma vez que dois polinômios só são iguais se todos os coeficientes são iguais.

Além disso, $\left\lbrace 1, x, x^2, ..., x^n\right\rbrace$ gera todo o espaço de polinômios de grau menor ou igual que $n$, uma vez que qualquer $p(x) \in P_n(R)$ pode ser escrito como: $\beta_1 + \beta_2 x + \beta_3 x^2 + ... + \beta_n x^n$. Logo, $\left\lbrace 1, x, x^2, ..., x^n\right\rbrace$ é uma base $P_n(R)$.

Portanto, $dim(P_n(R)) = n+1$.


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Coordenadas

    Definição: Sejam V um espaço vetorial, $\beta = \left\lbrace v_1, ..., v_n\right\rbrace$ uma base para V e $v \in V$ que pode ser escrito, de modo único, como: $a_1 v_1 + ... + a_n v_n$ . As Coordenadas de v com relação a base $\beta$ são os números $a_1, ..., a_n$ e denotamos por:

$$[v]_{\beta} = \left[ \begin{array}{c} a_1 \\ \vdots\\ a_n \end{array}\right]$$
    Exemplo: Considere o espaço vetorial $R^2$ e as bases $\beta = \left\lbrace (1,0), (0,1)\right\rbrace$ e $\gamma = \left\lbrace (1,1), (0,1)\right\rbrace$ para $R^2$. As Coordenadas do elemento $v = (2,-3) \in R^2$ com relação as bases $\beta$ e $\gamma$, respectivamente, são:

$$[v]_{\beta} = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array}\right] e [v]_{\gamma} = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -5 \end{array}\right].$$
Escrevendo o elemento v como combinação linear dos elementos da base $\beta$, obtemos:

$$(2, -3) = a_1 (1,0) + a_2 (0,1) \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} a_1 = 2 \\ a_2 = -3 \end{array}\right.$$
E portanto:
$$[v]_{\beta} = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array}\right]$$
Agora, escrevendo v como combinação linear dos elementos da base $\gamma$, obtemos:

$$(2, -3) = b_1 (1, 1) + b_2 (0, 1) \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} b_1 = 2 \\ b_1 + b_2 = -3 \end{array}\right. \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} b_1 = 2 \\ b_2 = -5 \end{array}\right.$$
E portanto:
$$[v]_{\gamma} = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -5 \end{array}\right]$$
Observe que as Coordenadas do elemento dependem fortemente da base em questão.

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