Definição: Seja V um espaço vetorial. Uma Base para V é um conjunto finito

B = \left\lbrace v_1, ..., v_n\right\rbrace

de elementos de V, tal que B é Linearmente Independente e gera o espaço vetorial V, ou seja, qualquer elemento de V pode ser escrito como combinação linear dos elementos de B.

Definição: A Dimensão de um espaço vetorial V é o número de elementos de uma base para V, que denotamos por dim(V).
Caso

V = \left\lbrace e \right\rbrace

, o conjunto vazio é uma base para V e

dim(V) = 0

Teoremas

Teorema 1: Seja V um espaço vetorial e $\left\lbrace v_1, ..., v_n\right\rbrace$ um conjunto de elementos que geram V. Então, dentre esses elementos podemos extrair uma base para V.

Teorema 2: Seja V um espaço vetorial gerado por um conjunto finito de n elementos $v_1, v_2, ..., v_n$ . Então, qualquer conjunto linearmente independente em V possui no máximo n elementos.

Teorema 3: Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número (finito) de elementos.

Teorema 4 (Completamento): Qualquer conjunto de elementos L.I. de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado até formar uma base para V.

Teorema 5: Seja V um espaço vetorial e U e W subespaços vetoriais de V, então:

dim(U+W) = dim(U) + dim(W) - dim(U\cap W)

Teorema 6: Seja V um espaço vetorial e $\beta = \left\lbrace v_1, ...,v_n \right\rbrace$ uma base ordenada para V, isto é, os elementos estão ordenados na ordem em que aparecem. Então, todo elemento de V pode ser escrito de maneira única como combinação linear de $v_1, ..., v_n$ .

Exemplos

Exemplo 1: $\left\lbrace (1,0), (0,1)\right\rbrace$ é uma base para o espaço vetorial real $R^2$ , que chamamos de base canônica do $R^2$ .

De fato, o conjunto

\left\lbrace (1,0), (0,1)\right\rbrace

é L.I., uma vez que a equação:

\alpha_1(1,0) + \alpha_2(0,1) =(0,0)

só é possível para

\alpha_1 = \alpha_2 = 0

. E além disso, o conjunto gera todo o $R^2$ , uma vez que qualquer

v = (x,y) \in R^2

pode ser escrito como

(x,y) = x(1,0) + y(0,1)

.
Assim,

\left\lbrace (1,0), (0,1)\right\rbrace

é uma base para

R^2

.

Portanto,

dim(R^2) = 2

.

Exemplo 2: $\left\lbrace (1,0), (0,1), (2,1)\right\rbrace$ NÃO é uma base para $R^2$ .

Podemos escrever o elemento

(2,1)

como combinação linear de

(1,0)

(0,1)

da forma:

(2,1) = 2(1,0) + 1(0,1) \Rightarrow2(1,0) + 1(0,1) - 1(2,1) = (0,0)

. Portanto, temos que

\left\lbrace (1,0), (0,1),(2,1)\right\rbrace

não é L.I., logo não pode ser uma base para

R^2

.

Exemplo 3: $\left\lbrace (1,0,1), (2,0,0)\right\rbrace$ NÃO é uma base para $R^3$ .

O conjunto

\left\lbrace (1,0,1), (2,0,0)\right\rbrace

é L.I., porém não gera todo o

R^3

. Tome um

v = (x,y,z) \in R

, não podemos escrever qualquer elemento dessa forma como combinação linear de

\left\lbrace (1,0,1), (2,0,0)\right\rbrace

, uma vez que:

(x,y,z) = \alpha_1(1,0,1) +\alpha_2(2,0,0) \Rightarrow \Rightarrow\left\lbrace \begin{array}{rr} \alpha_1 + 2\alpha_2 = x \\ 0 = y \\ \alpha_1 = z\end{array}\right.

Ou seja, temos uma restrição para a coordenada

y

do vetor

(x,y,z) \in R^3

, ou seja, o conjunto

\left\lbrace (1,0,1), (2,0,0)\right\rbrace

gera apenas os elementos da forma

(x,0,z)

, mas não gera todo o

R^3

, portanto, não pode ser uma base para

R^3

.

Exemplo 4: $\left\lbrace 1, x, x^2, ...,x^n\right\rbrace$ é uma base para o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a $n$ , $P_n(R)$ , conhecida como base canônica de $P_n(R)$ .

De fato, o conjunto

\left\lbrace 1, x, x^2, ...,x^n\right\rbrace

é L.I. uma vez que:

\alpha_1 + \alpha_2x + \alpha_3x^2+ ... + \alpha_{n+1} x^n = 0 + 0x + 0x^2 + ... +0x^n

só vale para

\alpha_1 = \alpha_2 = ... =\alpha_{n+1} = 0

, uma vez que dois polinômios só são iguais se todos os coeficientes são iguais.

Além disso,

\left\lbrace 1, x, x^2, ...,x^n\right\rbrace

gera todo o espaço de polinômios de grau menor ou igual que

n

, uma vez que qualquer

p(x) \in P_n(R)

pode ser escrito como:

\beta_1 + \beta_2 x + \beta_3 x^2 +... + \beta_n x^n

. Logo,

\left\lbrace 1, x, x^2, ...,x^n\right\rbrace

é uma base

P_n(R)

.

Portanto,

dim(P_n(R)) = n+1

.

Veja estes e mais exemplos AQUI.

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Coordenadas

Definição: Sejam V um espaço vetorial, $\beta = \left\lbrace v_1, ...,v_n\right\rbrace$ uma base para V e $v \in V$ que pode ser escrito, de modo único, como: $a_1 v_1 + ... + a_n v_n$ . As Coordenadas de v com relação a base $\beta$ são os números $a_1, ..., a_n$ e denotamos por:

$[v]_{\beta} = \left[\begin{array}{c} a_1 \\ \vdots\\ a_n\end{array}\right]$
Exemplo: Considere o espaço vetorial $R^2$ e as bases $\beta = \left\lbrace (1,0),(0,1)\right\rbrace$ e $\gamma = \left\lbrace (1,1),(0,1)\right\rbrace$ para $R^2$ . As Coordenadas do elemento $v = (2,-3) \in R^2$ com relação as bases $\beta$ e $\gamma$ , respectivamente, são:

$[v]_{\beta} = \left[\begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array}\right] e[v]_{\gamma} = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -5\end{array}\right].$
Escrevendo o elemento v como combinação linear dos elementos da base $\beta$ , obtemos:

$(2, -3) = a_1 (1,0) + a_2 (0,1)\Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} a_1 =2 \\ a_2 = -3 \end{array}\right.$
E portanto:
$[v]_{\beta} = \left[\begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array}\right]$
Agora, escrevendo v como combinação linear dos elementos da base $\gamma$ , obtemos:

$(2, -3) = b_1 (1, 1) + b_2 (0, 1)\Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} b_1 =2 \\ b_1 + b_2 = -3 \end{array}\right.\Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} b_1 =2 \\ b_2 = -5 \end{array}\right.$
E portanto:
$[v]_{\gamma} = \left[\begin{array}{c} 2 \\ -5 \end{array}\right]$
Observe que as Coordenadas do elemento dependem fortemente da base em questão.

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