Dependência Linear

Definição

    Sejam V um espaço vetorial sobre R e $S = \left\lbrace v_1, v_2, ..., v_n\right\rbrace$  um conjunto finito de elementos de V. Dizemos que o conjunto S é Linearmente Independente (L.I.), ou que os elementos $v_1, v_2, ..., v_n$ são Linearmente Independentes, se a equação: 

$$\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n = e$$
com $e$ o elemento neutro de V e $\alpha_i \in R$ possui somente a solução $\alpha_1 = \alpha_2 = ... = \alpha_n = 0$.

    Caso contrário, ou seja, quando existe pelo menos um $\alpha_i \neq 0$, dizemos que o conjunto S é Linearmente Dependente (L.D.), ou que os elementos $v_1, v_2, ..., v_n$são Linearmente Dependentes.

Propriedades

    Seja V um espaço vetorial sobre R. Valem as seguintes propriedades:

(P1) Se um conjunto finito de elementos de V contém o elemento neutro $e$ de V, este conjunto é L.D.

(P2) Se $S = \left\lbrace v \right\rbrace \subset V$, com $v \neq e$, então S é L.I.

(P3) Se $S = \left\lbrace v_1, ..., v_n \right\rbrace \subset V$é L.D., então um dos seus elementos é combinação linear dos demais.

(P4) Sejam $S_1$ e $S_2$ subconjuntos finitos e não vazios de V. Se $S_1$ é L.D. e $S_1 \subset S_2$, então $S_2$ também é L.D.

(P5) Sejam $S_1$ e $S_2$ subconjuntos finitos e não vazios de V. Se $S_2$ é L.I. e $S_1 \subset S_2$, então $S_1$ também é L.I.

(P6) Se $S = \left\lbrace v_1, ..., v_n\right\rbrace \subset V$ é L.I., e para algum $v \in V$ tivermos que $S \cup \left\lbrace v\right\rbrace = \left\lbrace v_1, v_2, ..., v_n, v\right\rbrace$ é L.D., então o elemento $v$ é combinação linear dos elementos de S.

(P7) Se $S = \left\lbrace v_1, ..., v_j, ..., v_n\right\rbrace$ e $u_j \in [S - \left\lbrace v_j\right\rbrace ]$, então $[S] = [S - \left\lbrace v_j\right\rbrace ]$.

Esta última propriedade nos diz que se um elemento de um conjunto de geradores é combinação linear dos demais, ele pode ser extraído do conjunto de geradores, pois o subespaço gerado ainda é o mesmo.

    Demonstrações: AQUI. 

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Exemplos

    Exemplo 1: Os elementos $v_1 = (1,2)$ e $v_2 = (3,6)$ do espaço vetorial $R^2$ são Linearmente Dependentes.

De fato, temos que a equação:
$$\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 = e \Rightarrow \alpha_1 (1,2) + \alpha_2 (3,6) = (0,0)$$
É verdadeira para $\alpha_1 = 3$ e $\alpha_2 = -1$. Assim, $v_1$ e $v_2$ são L.D.
Também podemos verificar que:$$(3,6) = 3(1,2) \Rightarrow v_2 = 3v_1$$ ou seja, $v_2$ é combinação linear de $v_1$.

Geometricamente, quando dois elementos em $R^2$ ou $R^3$ são Linearmente Dependentes, eles estão na mesma reta, quando colocados na mesma origem.

    Exemplo 2: Os elementos $v_1 = (1,2)$ e $v_2 = (4,3)$ de $R^2$ são Linearmente Independentes.

De fato, a equação:
$$\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 = e \Rightarrow \alpha_1 (1,2) + \alpha_2 (4,3) = (0,0)$$
Vale apenas para $\alpha_1 = \alpha_2 = 0$.

Geometricamente, quando dois elementos em $R^2$ ou $R^3$ são L.I., eles não estão na mesma reta, quando colocados na mesma origem.

Os vetores $v_1$ e $v_2$ são L.I.

    Exemplo 3: Os elementos $v_1 = (1,3,2), v_2 = (-2, -2, 1)$ e $v_3 = (-3, -1, 4)$ de $R^3$ são Linearmente Dependentes.

Tome a equação:
$$\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 = e \Rightarrow \alpha_1 (1,3,2) + \alpha_2 (-2,-2,1) + \alpha_3 (-3, -1, 4) = (0,0,0) \Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{rr} \alpha_1 -2\alpha_2 -3\alpha_3 & = 0 \\ 3\alpha_1 -2\alpha_2 -\alpha_3 & = 0 \\ 2\alpha_1 + \alpha_2 +4\alpha_3 & = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{rr} \alpha_1 -2\alpha_2 -3\alpha_3 & = 0 \\ 20\alpha_2 +40\alpha_3 & = 0 \\ 0\alpha_2 +0\alpha_3 & = 0 \end{array} \right.$$
Obtemos um sistema linear que tem como solução: $\alpha_2 = -2\alpha_3$ e $\alpha_1 = -\alpha_3$ com $\alpha_3 \in R$  livre. Assim, para algum $\alpha_3 \neq 0$ a equação vale, portanto $v_1 = (1,3,2)$, $v_2 = (-2, -2, 1)$ e $v_3 = (-3, -1, 4)$ são L.D.

De fato, podemos ver que o vetor $v_3 = (-3,-1,4)$ é combinação linear dos vetores $v_1 = (1,3,2)$ e $v_2 = (-2,-2,1)$, uma vez que: $(-3,-1,4) = (1,3,2) + 2(-2,-2,1) \Rightarrow v_3 = v_1 + 2v_2$.

Geometricamente, se três vetores em $R^3$ são Linearmente Dependentes, eles estão no mesmo plano, quando colocados na mesma origem. Caso contrário, ou seja, se forem Linearmente Independentes, os vetores não estão no mesmo plano, quando colocados na mesma origem.

Os vetores $v_1$, $v_2$ e $v_3$ são L.D.

    Veja estes e mais exemplos AQUI.

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