Propriedades do Determinante

.

Demonstração: AQUI.

Os mesmos resultados da Propriedade 5 valem para as matrizes elementares que representam operações elementares de coluna. A demonstração é análoga, ou então a afirmação segue da Propriedade 1.

Propriedade 6: Seja

A

uma matiz

n \times n

. Então:

(a) Se

B

é a matriz que resulta quando permutamos duas linhas de

A

, então

det(B) = -det(A)

;

(b) Se

B

é a matriz que resulta quando uma única linha de

A

é multiplicada por um escalar

\alpha

não nulo, então

det(B) = \alpha det(A)

;

(c) Se

B

é a matriz que resulta a partir de

A

adicionando-se à uma linha

r

A

um múltiplo

\alpha

não nulo de outra linha

s

, então

det(B) = det(A)

.

Demonstração: AQUI.

Os mesmos resultados da Propriedade 6 também valem substituíndo-se ``linhas'' por ``colunas''. A demonstração segue análoga.

Propriedade 7: Se

A: n\times n

possui duas linhas ou colunas proporcionais, então

det(A) = 0

.

Demonstração: AQUI.

Exemplo 3: Considere a seguinte matriz:

A = \left[ \begin{array}{rrr} 3 &1 & 2 \\ 6 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right]

Note que a linha 1 da matriz é proporcional a linha 2, de fato a linha 2 é igual a linha 1 multiplicada por 2. Assim, podemos realizar a operação elementar:

l_2 \longleftarrow l_2 - 2l_1

sobre

A

, obtendo:

B = \left[ \begin{array}{rrr} 3 &1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right]

Pela Propriedade 6(c) temos que

det(B) = det(A)

. Mas, como

B

possui uma linha nula, pela Propriedade 3 segue que:

det(A) = det(B) = 0

.

Propriedade 8: Sejam

A:n\times n

uma matriz quadrada,

E: n\times n

uma matriz elementar e

B = EA

. Então:

det(B) = det(EA) = det(E)det(A)

.

Demonstração: AQUI.

Podemos estender este resultado para qualquer número de matrizes elementares

E_1, E_2, ..., E_m

. Isto é:

det(E_mE_{m-1}...E_1A) =det(E_m)det(E_{m-1}E_{m-2}...E_1A) = ... =det(E_m)det(E_{m-1})...det(E_1)det(A)

O próximo resultado é um dos mais fundamentais da Álgebra Linear. Ele fornece um critério para a invertibilidade de matrizes em termos de determinantes e será útil para demonstrarmos a regra para o produto de determinantes.

Teorema 1: Uma matriz quadrada

A: n \times n

é inversível, isto é,

A

é não singular se, e somente se,

det(A) \neq 0

.

Demonstração:

(\Rightarrow)

Suponha que

A:n \times n

é inversível, e seja

\bar{x}

uma solução do sistema linear

Ax = 0

. Assim, temos:

Ax_0 = 0 \LeftrightarrowA^{-1}A\bar{x} = A^{-1}0 \Leftrightarrow I_n\bar{x}= 0 \Leftrightarrow \bar{x} = 0

Isto é, o sistema

Ax = 0

admite apenas a solução trivial. Dessa forma, aplicando operações elementares sobre a matriz

A

até obter sua forma escalonada reduzida, teremos que o sistema de equações correspondente à forma escalonada reduzida da matriz

A

será:

\left\lbrace \begin{array}{cccccc}x_1 & & & & = & 0 \\ & x_2& & & = & 0 \\ & & \ddots& & = & 0 \\ & & & x_n &= & 0 \end{array} \right.

que é equivalente ao sistema original. Assim, a forma escalonada reduzida de

A

é a matriz identidade

I_n

. Lembrando que uma matriz está na forma escalonada reduzida quando ela satisfaz as condições:

Todas as linhas nulas, se houver, aparecem nas últimas linhas da matriz;
O primeiro elemento não nulo de cada linha, denominado pivô, é igual a 1 e está em uma coluna à direita do pivô da linha acima;
Cada pivô é o único elemento não nulo de sua coluna.

Portanto, existem matrizes elementares tais que:

(E_mE_{m-1}...E_1)A = I_n

Logo, pela generalização da Propriedade 8 de determinantes, segue que:

1 = det(I_n) = det(E_mE_{m-1}...E_1A)= det(E_m)det(E_{m-1})...det(E_1)det(A) \Rightarrow

\Rightarrowdet(E_m)det(E_{m-1})...det(E_1)det(A) = 1

Portanto,

det(A) \neq 0

, uma vez que os determinantes de matrizes elementares são sempre não nulos.

(\Leftarrow)

Considere a forma escalonada reduzida de

A

R = (E_mE_{m-1}...E_1)A

Temos que:

det(R) = det(E_mE_{m-1}...E_1A) =det(E_m)det(E_{m-1})...det(E_1)det(A)

Como os determinantes de matrizes elementares são sempre diferentes de zero, então se

det(A) \neq 0

segue que

det(R) \neq 0

e, portanto,

R

não pode ter uma linha nula, pois do contrário estaria contradizendo a Propriedade 3. Logo, considerando a definição da forma escalonada reduzida temos que

R = I_n

, de modo que

A

é inversível.

Propriedade 9 (Regra Para o Produto): Sejam

A

B

matrizes quadradas de ordem

n

. Então

det(AB) = det(A)det(B)

.

Demonstração: AQUI.

Exemplo 4: Considere as matrizes:

A = \left[ \begin{array}{rr} 1 &2 \\ 3 & 4 \end{array}\right], \;\;\; B = \left[\begin{array}{rr} 2 & 5 \\ -1 & 3\end{array}\right], \;\;\; AB = \left[\begin{array}{cc} 0 & 11 \\ 2 & 3\end{array}\right]

Temos que:

det(A) = \left| \begin{array}{rr} 1& 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right| = (1)(4) -(2)(3) = 4 - 6 = -2

det(B) = \left| \begin{array}{rr} 2& 5 \\ -1 & 3 \end{array}\right| = (2)(3) -(5)(-1) = 6 + 5 = 11

det(AB) = \left| \begin{array}{cc} 0& 11 \\ 2 & 3 \end{array}\right| = (0)(3) -(11)(2) = -22

Portanto,

det(AB) = det(A)det(B)

, ilustrando a regra para o produto.

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Última Atualização: 02/02/2016.