Propriedades do Determinante
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Propriedade
1: Seja
uma matriz, então
. Demonstração: AQUI. Propriedade 2: Se é uma matriz diagonal, então . Demonstração: AQUI. Exemplo 1: O determinante da matriz identidade de ordem é igual a 1, isto é, . De fato, a matriz identidade é uma matriz diagonal com os elementos da diagonal todos iguais a 1. Então, pela Propriedade 2 segue que . Propriedade 3: Se uma matriz tem uma linha ou uma coluna nula, então . Demonstração: AQUI. Propriedade 4: Se é uma matriz triangular, então . Demonstração: AQUI. Exemplo 2: Considere a matriz: Conforme a Propriedade 4 temos que: . Propriedade 5 (Determinante de Matrizes Elementares): (a) Se é uma matriz elementar que representa a operação elementar: permutar as linhas e , então ; (b) Se é uma matriz elementar que representa a operação elementar: multiplicar a linha por um escalar não nulo, então ; (c) Se é uma matriz elementar que representa a operação elementar: somar à linha a linha multiplicada por um escalar não nulo, então . Demonstração: AQUI. Os mesmos resultados da Propriedade 5 valem para as matrizes elementares que representam operações elementares de coluna. A demonstração é análoga, ou então a afirmação segue da Propriedade 1. Propriedade 6: Seja uma matiz . Então: (a) Se é a matriz que resulta quando permutamos duas linhas de , então ; (b) Se é a matriz que resulta quando uma única linha de é multiplicada por um escalar não nulo, então ; (c) Se é a matriz que resulta a partir de adicionando-se à uma linha de um múltiplo não nulo de outra linha , então . Demonstração: AQUI. Os mesmos resultados da Propriedade 6 também valem substituíndo-se ``linhas'' por ``colunas''. A demonstração segue análoga. Propriedade 7: Se possui duas linhas ou colunas proporcionais, então . Demonstração: AQUI. Exemplo 3: Considere a seguinte matriz: Note que a linha 1 da matriz é proporcional a linha 2, de fato a linha 2 é igual a linha 1 multiplicada por 2. Assim, podemos realizar a operação elementar: sobre , obtendo: Pela Propriedade 6(c) temos que . Mas, como possui uma linha nula, pela Propriedade 3 segue que: . Propriedade 8: Sejam uma matriz quadrada, uma matriz elementar e . Então: . Demonstração: AQUI. Podemos estender este resultado para qualquer número de matrizes elementares . Isto é: O próximo resultado é um dos mais fundamentais da Álgebra Linear. Ele fornece um critério para a invertibilidade de matrizes em termos de determinantes e será útil para demonstrarmos a regra para o produto de determinantes. Teorema 1: Uma matriz quadrada é inversível, isto é, é não singular se, e somente se, . Demonstração: Suponha que é inversível, e seja uma solução do sistema linear . Assim, temos: Isto é, o sistema admite apenas a solução trivial. Dessa forma, aplicando operações elementares sobre a matriz até obter sua forma escalonada reduzida, teremos que o sistema de equações correspondente à forma escalonada reduzida da matriz será: que é equivalente ao sistema original. Assim, a forma escalonada reduzida de é a matriz identidade . Lembrando que uma matriz está na forma escalonada reduzida quando ela satisfaz as condições:
Portanto, existem matrizes elementares tais que: Logo, pela generalização da Propriedade 8 de determinantes, segue que: Portanto, , uma vez que os determinantes de matrizes elementares são sempre não nulos. Considere a forma escalonada reduzida de : Temos que: Como os determinantes de matrizes elementares são sempre diferentes de zero, então se segue que e, portanto, não pode ter uma linha nula, pois do contrário estaria contradizendo a Propriedade 3. Logo, considerando a definição da forma escalonada reduzida temos que , de modo que é inversível. Propriedade 9 (Regra Para o Produto): Sejam e matrizes quadradas de ordem . Então . Demonstração: AQUI. Exemplo 4: Considere as matrizes: Temos que: Portanto, , ilustrando a regra para o produto. Voltar ao Topo. |