Fatoração
Ortogonal
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Seja
uma matriz. A fatoração ortogonal de
consiste em se obter uma matriz
ortogonal e uma
matriz
triangular superior, tais que: A fatoração QR também pode ser utilizada na resolução de sistemas lineares. Se for a matriz dos coeficientes do sistema , então: uma vez que , pois é ortogonal. A vantagem deste processo sobre a fatoração LU é que este é mais estável numericamente devido a ortogonalidade da matriz . Temos que e e sabemos que , para todo , isto é, a multiplicação de uma matriz ou vetor por uma matriz ortogonal não altera o tamanho dos vetores coluna de e do vetor constante , ou seja, não amplia erros de arredondamento ou incertezas nos dados associados à matriz e ao vetor do sistema linear. Além disso, esta fatoração não requer estratégias de pivoteamento. O seguinte teorema garante a existência dos fatores e para uma matriz inversível. Se exigirmos que tenha diagonal positiva, então é possível demonstrar que os fatores e são únicos, caso contrário isto não ocorre. Teorema 1 (Fatoração QR): Se é uma matriz com colunas linearmente independentes, então pode ser escrita de modo único da forma: onde é ortogonal e é triangular superior com diagonal positiva. Demonstração: Como as colunas de são linearmente independentes, então é não singular e, portanto, a matriz é simétrica definida positiva. Então, existe e é única a fatoração de Cholesky da matriz . Seja: Note que chamamos o fator de Cholesky de , pois desta forma temos que a matriz é triangular superior com diagonal positiva. Note também que , pois seu determinante é o produto dos elementos da diagonal e sua diagonal é positiva, portanto, é inversível. Considere então , assim temos: e obtemos a fatoração de . Resta mostrar que a matriz é ortogonal: Na penúltima igualdade usamos os fatos: e . Portanto, a matriz é ortogonal. Para mostrar a unicidade da fatoração considere onde é ortogonal, ou seja, e é triangular superior com diagonal positiva. Então: onde é triangular inferior com diagonal positiva. Mas, a fatoração de Cholesky de é única e, portanto, e . Logo, a fatoração de existe e é única. A demonstração acima é construtiva, no sentido de que nos fornece um método para calcular os fatores e . Para isso precisamos encontrar a fatoração de Cholesky da matriz , obtendo o fator , e depois obter . Porém, este método é pouco recomendado, pois em alguns casos a matriz apresenta uma perda de ortogonalidade, devido a imprecisão dos cálculos. Estudaremos outros métodos mais eficientes para o cálculo dos fatores e de uma matriz e veremos exemplos de como a fatoração ortogonal pode ser aplicada à resolução de sistemas lineares: Processo de Gram-Schmidt. Transformações de Householder. Voltar ao Topo. |