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Seja
uma matriz. A fatoração ortogonal de
consiste em se obter uma matriz
ortogonal e uma
matriz
triangular superior, tais que:
A fatoração QR também pode ser utilizada na
resolução de sistemas lineares. Se for
a matriz dos coeficientes do sistema
,
então:
uma vez que
,
pois é
ortogonal.
A vantagem deste processo sobre a fatoração LU é que este
é mais estável numericamente devido a ortogonalidade da
matriz
.
Temos que
e
e sabemos que
, para todo
,
isto é, a multiplicação de uma matriz ou vetor por uma
matriz ortogonal não altera o tamanho dos vetores coluna
de e
do vetor constante
, ou
seja, não amplia erros de arredondamento ou incertezas nos
dados associados à matriz e
ao vetor do
sistema linear. Além disso, esta fatoração não requer
estratégias de pivoteamento.
O seguinte teorema garante a existência dos fatores
e
para uma matriz
inversível. Se exigirmos que
tenha diagonal positiva, então é possível demonstrar que
os fatores
e são
únicos, caso contrário isto não ocorre.
Teorema 1 (Fatoração QR): Se é
uma matriz com colunas linearmente independentes,
então
pode ser escrita de modo único da forma:
onde é
ortogonal e é
triangular superior com diagonal positiva.
Demonstração: Como as colunas de são
linearmente independentes, então é
não singular e, portanto, a matriz
é simétrica definida positiva. Então, existe e é única a
fatoração de Cholesky da matriz
.
Seja:
Note que chamamos o fator de Cholesky de
,
pois desta forma temos que a matriz é
triangular superior com diagonal positiva. Note também que
,
pois seu determinante é o produto dos elementos da
diagonal e sua diagonal é positiva, portanto, é
inversível. Considere então
,
assim temos:
e obtemos a fatoração de
.
Resta mostrar que a matriz é
ortogonal:
Na penúltima igualdade usamos os fatos:
e
.
Portanto, a matriz é
ortogonal.
Para mostrar a unicidade da fatoração considere
onde é
ortogonal, ou seja,
e é
triangular superior com diagonal positiva. Então:
onde
é triangular inferior com diagonal positiva. Mas, a
fatoração de Cholesky de
é única e, portanto,
e
.
Logo, a fatoração
de
existe e é única.
A demonstração acima é construtiva, no sentido de que nos
fornece um método para calcular os fatores e
.
Para isso precisamos encontrar a fatoração de Cholesky da
matriz
,
obtendo o fator
, e
depois obter
.
Porém, este método é pouco recomendado, pois em alguns
casos a matriz
apresenta uma perda de ortogonalidade, devido a imprecisão
dos cálculos. Estudaremos outros métodos mais eficientes
para o cálculo dos fatores
e de
uma matriz e
veremos exemplos de como a fatoração ortogonal pode ser
aplicada à resolução de sistemas lineares:
Processo de
Gram-Schmidt.
Transformações de
Householder.
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