Produto Interno

Neste texto, trabalharemos apenas no conjunto dos números reais, então os vetores e matrizes têm componentes reais. Será suficiente definirmos os conceitos de produto interno e ortogonalidade apenas para espaços vetoriais sobre o corpo R.

Definição: Seja

V

um espaço vetorial sobre o corpo R. Uma aplicação:

\langle \cdot,\cdot \rangle: V \times V \longrightarrow R

, que associa a cada par de elementos

u

v

V

um número real

\langle u,v \rangle

, e para quaisquer elementos

u, v

w \in V

satisfaz as propriedades:

(1) Simetria:

\langle u,v \rangle = \langle v,u \rangle

.
(2) Positividade:

\langle v,v \rangle \geq 0

, com

\langle v,v \rangle = 0

se, e somente se,

v = e_V

.
(3) Distributividade:

\langle u+v, w \rangle = \langle u,w \rangle + \langle v,w \rangle

.
(4) Homogeneidade:

\langle \lambda u,v \rangle = \lambda \langle u,v \rangle

, para todo

\lambda \in R

.

define um produto interno no espaço vetorial real

V

.

Produto Interno Euclidiano em R^n: Sejam

u = (u_1, u_2, ..., u_n)

v = (v_1, v_2, ..., v_n)

vetores do

R^n

, então a aplicação

\langle \cdot,\cdot \rangle: R^n \times R^n \longrightarrow R

dada por:

\langle u,v \rangle = u_1v_1 + u_2v_2 + ... + u_nv_n

define um produto interno, denominado produto interno Euclidiano do

R^n

.

De fato, as quatro propriedades de produto interno são satisfeitas:

(1)

\langle u,v \rangle = u_1v_1 + u_2v_2 + ... + u_nv_n = v_1u_1 + v_2u_2 + ... + v_nu_n = \langle v,u \rangle

.

(2)

\langle v,v \rangle = v_1v_1 + v_2v_2 + ... + v_nv_n = v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2 \geq 0

\langle v,v \rangle = 0 \Leftrightarrow v = e_V = (0, ..., 0)

.

(3)

\langle u+v, w \rangle = (u_1 + v_1)w_1 + (u_2 + v_2)w_2 + ... + (u_n + v_n)w_n =

= u_1w_1 + v_1w_1 + u_2w_2 + v_2w_2 + ... + u_nw_n + v_nw_n = (u_1w_1 + u_2w_2 + ... + u_nw_n) + (v_1w_1 + v_2w_2 + ... + v_nw_n) =

= \langle u,w \rangle + \langle v,w \rangle

(4)

\langle \lambda u,v \rangle = \lambda u_1v_1 + \lambda u_2v_2 + ... + \lambda u_nv_n = \lambda(u_1v_1 + u_2v_2 + ... + u_nv_n) = \lambda \langle u,v \rangle

.

Observação: O produto interno Euclidiano no

R^n

pode ser expresso como um produto de matrizes:

\langle u,v \rangle = u^tv = v^tu

representando os vetores

u

v

R^n

como matrizes colunas de ordem

n \times 1

.

Exemplo 1: Considere o espaço vetorial

R^3

com produto interno Euclidiano e os vetores:

u = (1, 2, 3)

v = (3, -5, 8)

w = (-2, 2, 7)

, então temos:

\langle u,v \rangle = (1)(3) + (2)(-5) + (3)(8) = 3 -10 + 24 = 17

\langle u,w \rangle = (1)(-2) + (2)(2) + (3)(7) = -2 + 4 + 21 = 23

\langle v,w \rangle = (3)(-2) + (-5)(2) + (8)(7) = - 6 - 10 + 56 = 40

o que exemplifica o cálculo de produtos internos entre elementos do

R^3

.

Teorema 1: Sejam V um espaço vetorial com produto interno,

u,v

w

elementos de

V

\lambda \in R

um escalar. Então, valem as seguintes propriedades:

(a)

\langle e_V,v \rangle = \langle v,e_V \rangle = 0

.
(b)

\langle u,v+w \rangle = \langle u,v \rangle + \langle u,w \rangle

.
(c)

\langle u,\lambda v \rangle = \lambda \langle u,v \rangle

.
(d)

\langle u-v,w \rangle = \langle u,w \rangle - \langle v,w \rangle

.
(e)

\langle u,v-w \rangle = \langle u,v \rangle - \langle u,w \rangle

.

Demonstração: Usamos as propriedades de (1) a (4) da definição de produto interno para a demonstração:

(a)

\langle e_V,v \rangle \stackrel{(1)}{=} \langle v,e_V \rangle

\langle e_V,v \rangle = \langle 0e_V,v \rangle \stackrel{(4)}{=} 0\langle e_V,v \rangle = 0

.

(b)

\langle u,v+w \rangle \stackrel{(1)}{=} \langle v+w,u \rangle \stackrel{(3)}{=} \langle v,u \rangle + \langle w,u \rangle \stackrel{(1)}{=} \langle u,v \rangle + \langle u,w \rangle

.

(c)

\langle u,\lambda v \rangle \stackrel{(1)}{=} \langle \lambda v,u \rangle \stackrel{(4)}{=} \lambda \langle v,u \rangle \stackrel{(1)}{=} \lambda \langle u,v \rangle

.

(d)

\langle u-v,w \rangle = \langle u + (-1)v,w \rangle \stackrel{(3)}{=} \langle u,w \rangle + \langle (-1)v,w \rangle \stackrel{(4)}{=} \langle u,w \rangle + (-1)\langle v,w \rangle = \langle u,w \rangle - \langle v,w \rangle

.

(e)

\langle u,v - w \rangle \stackrel{(1)}{=} \langle v-w,u \rangle \stackrel{(d)}{=} \langle v,u \rangle - \langle w,u \rangle \stackrel{(1)}{=} \langle u,v \rangle - \langle u,w \rangle

.

Podemos definir outros produtos internos no

R^n

e também em espaços vetoriais quaisquer que são úteis em aplicações.

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Última Atualização: 01/02/2016.