Autovalores e Autovetores

    Exemplo 2: Considere o operador linear $T: R^3 \longrightarrow R^3$ dado por $T(x, y, z) = (x, y, 0)$, que representa a projeção sobre o plano $xy$. Vamos encontrar os autovalores e autovetores de T. Queremos encontrar elementos $(x,y,z) \in R^3$, $(x,y,z) \neq (0,0,0)$ e $\lambda \in R$  tais que:

$$T(x,y,z) = \lambda(x,y,z) \Leftrightarrow (x,y,0) = (\lambda x, \lambda y, \lambda z) \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} \lambda x = x \\ \lambda y = y \\ \lambda z = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{c} (\lambda - 1) x = 0 \\ (\lambda - 1) y = 0 \\ \lambda z = 0 \end{array} \right.$$
A primeira e segunda equações são satisfeitas para $\lambda = 1$ e nesse caso, a terceira equação só se verifica para $z = 0$. Assim, $\lambda_1 = 1$ é um autovalor de T com os autovetores associados da forma $v_1 = (x,y,0)$. Observe que, para o autovetor $\lambda_1 = 1$, os elementos do subespaço $S_{\lambda_1}$podem ser escritos como $(x,y,0) = x(1,0,0) + y(0,1,0)$. Temos que $\left\lbrace (1,0,0), (0,1,0)\right\rbrace$ são L.I. e portanto formam uma base para $S_{\lambda_1}$, e este tem dimensão 2.
Além disso, a terceira equação é satisfeita para $\lambda = 0$, para todo $z$, e nesse caso, a primeira e segunda equações só são satisfeitas para $x = y = 0$. Assim, $\lambda_2 = 0$ é outro autovalor de T com os autovetores associados da forma $v_2 = (0,0,z)$. Observe que, para $\lambda_2 = 0$, os elementos de $S_{\lambda_2}$ podem ser escritos da forma $(0,0,z) = z(0,0,1)$. Temos que, $\left\lbrace (0,0,1)\right\rbrace$ é L.I. e portanto forma uma base para $S_{\lambda_2}$, e este tem dimensão 1.

    Exemplo 3: Vamos determinar um operador linear T sobre o $R^2$ que satisfaça simultaneamente as seguintes condições:

    (i) $\lambda_1 = 1$ é um autovalor de T com autovetores associados do tipo $v_1 = (y, -y)$.
    (ii) $\lambda_2 = 3$ é um autovalor de T com autovetores associados do tipo $v_2 = (0, y)$.

Da condição (i) temos que:

$$T(y, -y) = 1(y, -y) \Leftrightarrow yT(1,-1) = y(1,-1) \Leftrightarrow T(1,-1) = (1,-1)$$
e da condição (ii) temos que:

$$T(0,y) = 3(0,y) = (0, 3y) \Leftrightarrow yT(0,1) = y(0,3) \Leftrightarrow T(0,1) = (0,3)$$
Observe que $\beta = \left\lbrace (1,-1), (0,1) \right\rbrace$ é uma base para $R^2$. Vamos escrever um elemento qualquer $(x,y) \in R^2$ como combinação linear dos elementos da base $\beta$, ou seja:

$$(x,y) = \alpha_1(1, -1) + \alpha_2(0, 1) \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{c} \alpha_1 = x \\ -\alpha_1 + \alpha_2 = y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} \alpha_1 = x \\ \alpha_2 = x + y \end{array} \right.$$
Logo, temos $(x, y) = x(1, -1) + (x+y)(0,1)$. Portanto, podemos calcular $T(x,y)$ da seguinte forma:

$$T(x,y) = T(x(1, -1) + (x+y)(0,1)) = T(x(1,-1)) + T((x+y)(0,1)) =$$ 
$$= xT(1,-1) + (x+y)T(0,1) = x(1,-1) + (x+y)(0,3) = (x,-x) + (0, 3x+3y) \Leftrightarrow$$$$$$$$\Leftrightarrow T(x,y) = (x, 2x+3y)$$
E assim determinamos o operador linear T.

Veja estes e mais exemplos AQUI.

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