Construção de Curvas e Superfícies por Pontos Especificados

    Vamos estudar uma aplicação de conceitos da geometria analítica, resolução de sistemas lineares e determinantes, para construir algumas curvas e superfícies passando por pontos dados.

     Da Álgebra Linear sabemos que vale o seguinte teorema:

    Teorema: Seja $Ax=0$ um sistema linear homogêneo, com n equações e n incógnitas. Esse sistema tem solução não trivial, se e somente se, o determinante da matriz A dos coeficientes é zero.

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Reta por dois pontos

    Sabemos que existe uma única reta passando por dados dois pontos distintos num plano. A equação da reta é dada por:

$$\alpha_1x + \alpha_2y + \alpha_3 = 0$$
    Esta forma é equivalente a forma usual, $y = ax + b$, vista em Geometria Analítica, basta isolar $y$ e teremos $a = -\frac{\alpha_1}{\alpha_2}$ e $b = -\frac{\alpha_3}{\alpha_2}$, com $\alpha_2 \neq 0$. Suponha $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ pontos pertencentes a reta. Como esses pontos estão na reta, substituindo suas coordenadas na equação da reta temos:

$$\alpha_1x_1 + \alpha_2y_1 + \alpha_3 = 0$$
$$\alpha_1x_2 + \alpha_2y_2 + \alpha_3 = 0$$
    Essas três equações formam um sistema linear homogêneo, nas incógnitas $\alpha_1, \alpha_2$ e $\alpha_3$.

$$\left\lbrace \begin{array}{ccccc} x\alpha_1 & + & y\alpha_2 & + & 1\alpha_3 = 0 \\ x_1\alpha_1 & + & y_1\alpha_2 & + & 1\alpha_3 = 0 \\ x_2\alpha_1 & + & y_2\alpha_2 & + & 1\alpha_3 = 0 \end{array} \right.$$
    Dado que queremos encontrar a equação da reta, não nos interessa a solução em que $\alpha_1, \alpha_2$ e $\alpha_3$ são todos nulos, por isso, impomos a condição de que este sistema tenha solução não trivial, o que implica que o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero, ou seja:

$$\left| \begin{array}{ccc} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{array} \right| = 0$$
    Essa igualdade nos fornece a equação geral para a reta, pois qualquer ponto da reta irá satisfazê-la.

    Exemplo: Encontre a equação da reta que passa pelos pontos $(0,1)$ e $(1,-1)$.

    A equação da reta é da forma:
$$\alpha_1x + \alpha_2y + \alpha_3 = 0$$
    Substituindo as coordenadas dos pontos que sabemos que estão na reta temos:

$$\alpha_1 0 + \alpha_2 1 + \alpha_3 = 0$$
$$\alpha_1 1 + \alpha_2 (-1) + \alpha_3 = 0$$
    Obtemos então, um sistema linear homogêneo nas incógnitas $\alpha_1, \alpha_2$ e $\alpha_3$.

$$\left\lbrace \begin{array}{r} x\alpha_1 + y\alpha_2 + 1\alpha_3 = 0 \\ 0\alpha_1 + 1\alpha_2 + 1\alpha_3 = 0 \\ 1\alpha_1 - 1\alpha_2 + 1\alpha_3 = 0 \end{array} \right.$$ 
    Esse sistema deve possuir solução não trivial, logo o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero, assim temos:

$$\left| \begin{array}{rrr} x & y & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right| = 0 \Longleftrightarrow x + y - 1 + x = 0 \Longleftrightarrow 2x + y - 1 = 0$$
    Portanto a equação da reta é $2x + y - 1 = 0$.


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    Dados três pontos não colineares num plano, sabemos que existe uma única circunferência passando por esses pontos, cuja equação é da forma:

$$\alpha_1(x^2+y^2) + \alpha_2x + \alpha_3y + \alpha_4 = 0$$
    Podemos obter essa forma para a equação da circunferência, partindo da equação usual, da mesma forma que fizemos com a reta. Sejam $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ e $(x_3, y_3)$ pontos não colineares pertencentes a circunferência. Substituindo suas coordenadas na equação da circunferência, temos:

$$\alpha_1(x_1^2 + y_1^2) + \alpha_2x_1 + \alpha_3 y_1 + \alpha_4 = 0$$
$$\alpha_1(x_2^2 + y_2^2) + \alpha_2x_2 + \alpha_3 y_2 + \alpha_4 = 0$$
$$\alpha_1(x_3^2 + y_3^2) + \alpha_2x_3 + \alpha_3 y_3 + \alpha_4 = 0$$
    Essas equações, junto com a equação geral da circunferência, formam um sistema linear homogêneo, nas incógnitas $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ e $\alpha_4$.

$$\left\lbrace \begin{array}{ccccccc} (x^2+y^2)\alpha_1 & + & x\alpha_2 & + & y\alpha_3 & + & 1\alpha_4 = 0 \\ (x_1^2 + y_1^2)\alpha_1 & + & x_1\alpha_2 & + & y_1\alpha_3 & + & 1\alpha_4 = 0 \\ (x_2^2 + y_2^2)\alpha_1 & + & x_2\alpha_2 & + & y_2\alpha_3 & + & 1\alpha_4 = 0 \\ (x_3^2 + y_3^2)\alpha_1 & + & x_3 \alpha_2 & + & y_3 \alpha_3 & + & 1\alpha_4 = 0 \end{array} \right.$$
    Para encontrar a equação da circunferência, não nos interessa a solução em que $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ e $\alpha_4$ são todos nulos, assim, impomos que esse sistema deve possuir solução não trivial, e isso acontece se o determinante da matriz dos coeficientes for zero.

$$\left| \begin{array}{cccc} (x^2 + y^2) & x & y & 1 \\ (x_1^2 + y_1^2) & x_1 & y_1 & 1 \\ (x_2^2 + y_2^2) & x_2 & y_2 & 1 \\ (x_3^2 + y_3^2) & x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right| = 0$$
    Essa igualdade nos dá a equação da circunferência.

    Exemplo: Encontre a equação da circunferência que passa pelos pontos $(2,0)$, $(0,2)$ e $(0,-2)$.

    A equação da circunferência é da forma: $\alpha_1(x^2+y^2) + \alpha_2x + \alpha_3y + \alpha_4 = 0$. Substituindo as coordenadas dos três pontos conhecidos, obtemos o seguinte sistema linear homogêneo:

$$\left\lbrace \begin{array}{ccccccc} (x^2+y^2)\alpha_1 & + & x\alpha_2 & + & y\alpha_3 & + & 1\alpha_4 = 0 \\ (2^2 + 0^2)\alpha_1 & + & 2\alpha_2 & + & 0\alpha_3 & + & 1\alpha_4 = 0 \\ (0^2 + 2^2)\alpha_1 & + & 0\alpha_2 & + & 2\alpha_3 & + & 1\alpha_4 = 0 \\ (0^2 + (-2)^2)\alpha_1 & + & 0 \alpha_2 & - & 2\alpha_3 & + & 1\alpha_4 = 0 \end{array} \right.$$
    Esse sistema deve possuir solução não trivial, logo, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser nulo. Assim, temos:

$$\left| \begin{array}{crrr} (x^2 + y^2) & x & y & 1 \\ 4 & 2 & 0 & 1 \\ 4 & 0 & 2 & 1 \\ 4 & 0 & -2 & 1 \end{array} \right| = 0 \Longleftrightarrow 8(x^2+y^2) - 32 = 0 \Longleftrightarrow x^2 + y^2 - 4 = 0$$
    Portanto, a equação da circunferência é $x^2 + y^2 - 4 = 0$, uma circunferência com centro $(0,0)$ e raio $2$.

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Plano por três pontos

    Considere agora, três pontos não colineares $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3,y_3)$. Por esses pontos passa um único plano, cuja equação é da forma:

$$\alpha_1x + \alpha_2y + \alpha_3z + \alpha_4 = 0$$
    Substituindo as coordenadas dos três pontos pertencentes ao plano nessa equação, junto com a equação geral do plano, obtemos um sistema linear homogêneo, nas incógnitas $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ e $\alpha_4$.

$$\left\lbrace \begin{array}{ccccccc} x\alpha_1 & + & y\alpha_2 & + & z\alpha_3 & + & 1\alpha_4 = 0 \\ x_1\alpha_1 & + & y_1\alpha_2 & + & z_1\alpha_3 & + & 1\alpha_4 = 0 \\ x_2\alpha_1 & + & y_2\alpha_2 & + & z_2\alpha_3 & + & 1\alpha_4 = 0 \\ x_3\alpha_1 & + & y_3\alpha_2 & - & z_3\alpha_3 & + & 1\alpha_4 = 0 \end{array} \right.$$
    Novamente, nos interessa a solução em que $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ e $\alpha_4$ não são todos nulos, assim, impomos que esse sistema deve possuir solução não trivial, logo, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero, ou seja:

$$\left| \begin{array}{cccc} x & y & z & 1 \\ x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \end{array} \right| = 0$$
    Essa equação, em formato de determinante, nos dá a equação do plano.

Exemplo: Encontre a equação do plano que passa pelos pontos $(2, 3, 1)$, $(2, -1, -1)$ e $(1, 2, 1)$.
Substituindo as coordenadas dos pontos na equação em forma de determinante, temos:

$$\left| \begin{array}{rrrr} x & y & z & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \end{array} \right| = 0 \Longleftrightarrow -2x + 2y -4z + 2 = 0 \Longleftrightarrow -x + y - 2z + 1 = 0$$

    O mesmo raciocínio pode ser utilizado para encontrar equações de outras curvas ou superfícies passando por pontos especificados, como esferas por cinco pontos, cônicas por cinco pontos, entre outros. Se a equação geral da curva ou superfície possuir n coeficientes a serem determinados, teremos que impor n condições, uma delas representa o caso geral e as demais são pontos pré-fixados que satisfazem a equação. Iremos chegar a um sistema linear homogêneo, $Ax = 0$, com n equações e n incógnitas. Para que o sistema admita solução não trivial, impomos a condição que $det(A)$ seja nulo, e daí obtemos a equação da curva ou superfície.


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