Exemplo 2: Considere o mesmo vetor $v = (4,3) \in R^2$ do exemplo anterior, ele também pode ser escrito como combinação linear dos vetores $v_1 = (1,1)$ e $v_2 = (0,1)$ da forma:
 $$v=(4,3)=4(1,1)-1(0,1)$$$$v = (4,3) = 4(1,1) - 1(0,1$$                                                                       
    Exemplo 3: O polinômio $p(x) = 3x^2+x+2$ pode ser escrito como combinação linear dos polinômios $p_1(x) = x^2 , p_2(x) = x$ e $p_3(x) = 1$.

Neste caso, basta tomar como constantes os coeficientes do polinômio $p(x)$, assim temos: 

$$p(x) = 3x^2 + x + 2 = 3p_1(x) + 1p_2(x) + 2p_3(x)$$
Logo, $p(x)$ é combinação linear dos polinômios $p_1(x) = x^2 , p_2(x) = x$ e $p_3(x) = 1$. Em geral, qualquer polinômio de grau menor ou igual que 2 pode ser escrito como combinação linear destes polinômios.

    Exemplo 4: O elemento $v=(2,4,-3) \in R^3$ é combinação linear dos elementos $v_1 = (1,0,0), v_2=(0,-1,0), v_3=(0,0,2)$.

Para que $v$ seja combinação linear de $v_1,v_2,v_3$ é preciso que existam  $\alpha_1 , \alpha_2, \alpha_3 \in R$ de modo que:
$$$$

$$v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 \Rightarrow (2,4,-3) = \alpha_1 (1,0,0) + \alpha_2(0,-1,0) + \alpha_3(0,0,2) \Longleftrightarrow$$

$$\Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} \alpha_1 = 2 \\ - \alpha_2 = 4 \\ 2 \alpha_3 = -3 \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} \alpha_1 = 2 \\ \alpha_2 = -4 \\ \alpha_3 = -\frac{3}{2} \end{array}\right.$$

Assim,  $v = 2v_1 -4v_2 -\frac{3}{2}v_3$.

    Veja estes e mais exemplos AQUI.

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