Determinantes

A regra que define essa função será um somatório no qual cada parcela é composta por um produto entre elementos de A. É claro que existe uma lei que define como compor cada parcela, bem como seu sinal. Estudaremos como definir esta função e veremos alguns exemplos do cálculo de determinantes. Para isso, veremos inicialmente algumas noções sobre permutações e produtos elementares.

Definição: Uma permutação de um conjunto finito é um rearranjo dos elementos desse conjunto em certa ordem, sem falta ou repetição de nenhum deles.

Denotaremos por

p = (j_1, j_2, ..., j_n)

uma permutação qualquer de um conjunto, onde

j_1

é o primeiro elemento na permutação,

j_2

o segundo e assim por diante.

Definição: Uma permutação é par se o número de trocas que devemos realizar entre seus elementos para recuperar a ordem original da sequência for par. A permutação é ímpar se este número for ímpar.

Denotaremos o sinal da permutação usando a função

sgn

(do inglês signal), dada por:

sgn(p) = +1

p

é par e

sgn(p) = -1

p

é ímpar.

Exemplo 1: Considere o conjunto dos inteiros

\left\lbrace 1, 2, 3, 4 \right\rbrace

e uma permutação

p = (4, 2, 1, 3)

. Para recuperar a ordem original dos elementos podemos realizar as trocas:

({\color{red} 4}, {\color{red} 2}, 1, 3) \longrightarrow (2, {\color{red} 4}, {\color{red} 1}, 3) \longrightarrow (2, 1, {\color{red} 4}, {\color{red} 3}) \longrightarrow ({\color{red} 2}, {\color{red} 1}, 3, 4) \longrightarrow (1, 2, 3, 4)

Resultando em um total de 4 trocas. Portanto, a permutação

p

é par, logo,

sgn(p) = +1

. Ainda para este exemplo, podemos recuperar a ordem original dos elementos realizando também a seguinte sequência de trocas:

({\color{red} 4}, 2, 1, {\color{red} 3}) \longrightarrow ({\color{red} 3}, 2, {\color{red} 1}, 4) \longrightarrow (1, 2, 3, 4)

Resultando em um total de 2 trocas, que também é par.

Um resultado importante afirma que a paridade de uma permutação é única, ou seja, se a ordem original dos elementos é recuperada através de um número par (ímpar) de trocas, então qualquer outra sequência de trocas que recupere a ordem original dos elementos também terá um número par (ímpar) de trocas.

Uma maneira de obter a paridade de uma permutação

p = (j_1, j_2, ..., j_n)

é: encontrar o número de inteiros que são menores que

j_1

e estão depois de

j_1

na permutação; encontrar o número de inteiros que são menores que

j_2

e estão depois de

j_2

na permutação; fazer o mesmo processo para

j_3, ..., j_{n-1}

. A soma desses números obtidos será o número total de trocas em uma sequência de trocas que devemos efetuar entre os dígitos de

p

para recuperar a ordem natural dos números.

Considerando a permutação

p = (4, 2, 1, 3)

do exemplo 2, para

j_1 = 4

temos que 2, 1 e 3 são menores que ele e estão depois na permutação, ou seja, o dígito

j_1

precede 3 dígitos menores que ele. Para

j_2 = 2

apenas o 1 é menor que ele e está depois na permutação, ou seja, o dígito

j_2

precede 1 dígito menor que ele. Por fim, o dígito

j_3 = 1

não precede nenhum dígito menor que ele. Somando os números obtidos teremos:

3 + 1 = 4

. Portanto, a permutação

p

é par.

Definição: Seja

A

uma matriz quadrada de ordem

n

. Um produto elementar da matriz

A

é um produto entre

n

elementos de

A

no qual não aparece mais de um elemento da mesma linha ou da mesma coluna de

A

.

Observação: Como cada produto elementar deve ter

n

fatores e cada fator vem de uma linha distinta, podemos escrever um produto elementar da forma:

a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n}

onde cada

j_i, i = 1, ..., n

representa um índice distinto das colunas. Isto é, mantemos a ordem original

(1, 2, ..., n)

para as linhas e para as colunas seguimos a ordem

(j_1, j_2, ..., j_n)

que é uma das permutações dos

n

índices das colunas. Dessa forma, uma matriz

A: n \times n

possui

n!

produtos elementares distintos.

Quando associamos ao produto elementar o sinal da permutação empregada para os índices das colunas temos um produto elementar com sinal.

Exemplo 2: Se

A

é uma matriz quadrada de ordem 4, um de seus produtos elementares é dado por:

a_{14}a_{22}a_{31}a_{43}

. Observe que seguimos a ordem original para os índices das linhas e para as colunas seguimos a ordem

(4,2,1,3)

que é uma das

4! = 24

permutações possíveis dos 4 dígitos. Como vimos, esta permutação é par e, portanto, associamos o sinal positivo a este produto elementar.

Definição de Determinante: Sejam

A

uma matriz quadrada

n\times n

\mathcal{P}

o conjunto de todas as permutações

p = (j_1, j_2, ..., j_n)

\left\lbrace 1, 2, ..., n \right\rbrace

. A função determinante, denotada por

det

, associa à matriz

A

um número real,

det(A)

, obtido pela soma de todos os produtos elementares de

A

com sinal:

det(A) = \sum_{p \in \mathcal{P}}^{} sgn(p)a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n}

Costumamos denotar também o determinante de

A

por

|A|

.

Exemplo 4: Considere uma matriz quadrada

2 \times 2

A = \left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right]

Como cada produto elementar dessa matriz deve ter dois elementos e cada elemento vem de uma linha distinta, podemos escrever um produto elementar da forma:

a_{1j_1}a_{2j_2}

onde

(j_1, j_2)

indica uma permutação dos índices das colunas, uma vez que não pode haver dois elementos vindos da mesma coluna. Então, as

2! = 2

permutações distintas nos dão a lista dos possíveis produtos elementares de A, sendo eles:

a_{11}a_{22}, \;\;\; \;\;\; a_{12}a_{21}

A permutação associada ao produto elementar

a_{11}a_{22}

(1,2)

, que é uma permutação par e, portanto, esse produto recebe sinal positivo. A permutação associada ao produto elementar

a_{12}a_{21}

(2,1)

, que é ímpar e, portanto, esse produto recebe o sinal negativo. Então, pela definição de determinante, temos que:

det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}

Isto é, para calcular o determinante de uma matriz

2\times 2

basta realizar o produto dos elementos da diagonal principal e subtrair este resultado do produto dos elementos da diagonal secundária.

Exemplo 5: Considere a seguinte matriz:

A = \left[ \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} \right]

Então, como visto no exemplo anterior temos que:

det(A) = \left| \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} \right| = (2)(4) - (3)(1) = 8 - 3 = 5

Exemplo 6: Considere uma matriz quadrada

3 \times 3

A = \left[ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right]

Como cada produto elementar dessa matriz deve ter 3 elementos e cada elemento vem de uma linha distinta, podemos escrever um produto elementar da forma:

a_{1j_1}a_{2j_2}a_{3j_3}

onde

(j_1, j_2, j_3)

indica uma permutação dos índices das colunas, uma vez que não pode haver dois elementos vindos da mesma coluna. Então, as

3! = 6

permutações distintas dos inteiros

\left\lbrace 1, 2, 3\right\rbrace

nos dão a lista dos possíveis produtos elementares de

A

, sendo eles:

a_{11}a_{22}a_{33}, \;\; a_{11}a_{23}a_{32}, \;\; a_{12}a_{21}a_{33}, \;\; a_{12}a_{23}a_{31}, \;\; a_{13}a_{21}a_{32}, \;\; a_{13}a_{22}a_{31}

O sinal do produto elementar é associado ao sinal da permutação, conforme a seguinte tabela:

Produto Elementar	Permutação Associada	Paridade da Permutação	Sinal
$a_{11}a_{22}a_{33}$	$(1, 2, 3)$	par	$+$
$a_{11}a_{23}a_{32}$	$(1, 3, 2)$	ímpar	$-$
$a_{12}a_{21}a_{33}$	$(2, 1, 3)$	ímpar	$-$
$a_{12}a_{23}a_{31}$	$(2, 3, 1)$	par	$+$
$a_{13}a_{21}a_{32}$	$(3, 1, 2)$	par	$+$
$a_{13}a_{22}a_{31}$	$(3, 2, 1)$	ímpar	$-$

Então, pela definição de determinante segue que:

det(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}

Para evitar a memorização dessa expressão, podemos utilizar o seguinte esquema: acrescentamos as colunas 1 e 2 de A após as 3 colunas originais e os produtos elementares serão obtidos multiplicando-se os elementos conforme a figura a seguir. O sinal dos produtos obtidos pelas diagonais à direita será positivo, e o sinal dos produtos obtidos pelas diagonais à esquerda será negativo:

Figura 1: Regra para o cálculo de Determinantes

3 \times 3

Assim, teremos:

det(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{3

Exemplo 7: Considere a seguinte matriz:

A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 2 \\ -2 & 3 & 0 \\ 4 & 2 & -1 \end{array} \right]

Então, como visto no exemplo anterior, temos que:

det(A) = \left| \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 2 \\ -2 & 3 & 0 \\ 4 & 2 & -1 \end{array} \right| =

= (1)(3)(-1) + (1)(0)(4) + (2)(-2)(2) - (2)(3)(4) - (1)(-2)(-1) - (1)(0)(2) =

= -3 -8 -24 -2 = -3

Portanto,

det(A) = -37

.

A partir da definição vemos que o cálculo de determinantes envolve um grande número de operações, uma vez que o somatório possui

n! = n(n-1)(n-2)...1

parcelas. Para

n = 4

teremos

4! = 24

parcelas, para

n = 10

teremos

10! = 3628800

parcelas, para

n = 100

teremos

100! \approx 9.332*10^{157}

parcelas. Se um computador processa

2400000

operações por segundo, levaria, aproximadamente,

1.23*10^{144}

anos para calcular o determinante de uma matriz de ordem

100

.

Por este motivo, estudaremos um método mais eficiente para o cálculo de determinantes, através da redução por linhas da matriz. Para tanto, demonstraremos algumas propriedades e resultados importantes da função determinante.

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Última Atualização: 02/02/2016.