Definição: Sejam U e V espaços vetoriais sobre um corpo K e

T:U \longrightarrow V

uma transformação linear. Considere

B = \left\lbrace u_1, ..., u_n\right\rbrace

uma base para U e

C = \left\lbrace v_1, ..., v_m\right\rbrace

uma base para V.

Os elementos

T(u_1), T(u_2), ..., T(u_n)

estão em V, assim, podemos escrevê-los como combinação linear dos elementos da base C:

\begin{array}{c} T(u_1) = \alpha_{11} v_1 + \alpha_{21} v_2 + ... + \alpha_{m1} v_m \\ T(u_2) = \alpha_{12} v_1 + \alpha_{22} v_2 + ... + \alpha_{m2} v_m \\ \vdots \\ T(u_n) = \alpha_{1n} v_1 + \alpha_{2n} v_2 + ... + \alpha_{mn} v_m \end{array}

A transformação linear T fica bem determinada por seu efeito sobre os elementos da base B de U, assim, dizemos que a matriz

m \times n

(T)_{B,C} = \left[ \begin{array}{cccc} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \dots & \alpha_{1n} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \dots & \alpha_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m1} & \alpha_{m2} & \dots & \alpha_{mn} \end{array}\right]

é a matriz da transformação linear T em relação as bases B e C.

Teoremas

Teorema 1: Sejam F e G transformações lineares pertencentes a

L(U,V)

e, B e C bases de U e V, respectivamente, então:
(a)

(F + G)_{B,C} = (F)_{B,C} + (G)_{B,C}

.
(b)

(\lambda F)_{B,C} = \lambda (F)_{B,C}, \;\;\; \forall \lambda \in K

.

Teorema 2: Considere U, V e W espaços vetoriais, com as respectivas bases B, C e D. Sejam

F: U \longrightarrow V

G: V \longrightarrow W

transformações lineares. Então, a matriz da transformação linear composta

G \circ F: U \longrightarrow W

é o produto da matriz da transformação G pela matriz da transformação F, isto é:

(G \circ F)_{B, D} = (G)_{C, D} (F)_{B, C}

Teorema 3: Considere U e V espaços vetoriais de mesma dimensão n, B e C bases para U e V, respectivamente. Seja T um isomorfismo de U em V. Então, a matriz

(T)_{B,C}

é inversível e:

(T)^{-1}_{B, C} = (T^{-1})_{C, B}

Isto é, a inversa da matriz que representa T com relação as bases B e C é a matriz que representa

T^{-1}

com relação a estas mesmas bases.

Teorema 4: Sejam U e V espaços vetoriais de dimensões finitas n e m, respectivamente. Fixadas as bases

B = \left\lbrace u_1, ..., u_n\right\rbrace

de U e

C = \left\lbrace v_1, ..., v_m \right\rbrace

de V, a aplicação

T: L(U, V) \longrightarrow M_{m \times n} (R)

, que associa a cada transformação linear de

L(U,V)

uma matriz em relação as bases B e C, é bijetora.

Veja as demonstrações dos teoremas AQUI.

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Exemplos

Exemplo 1: Seja $F: R^3 \longrightarrow R^2$ , definida por $F(x,y,z) = (x+y, 2z)$ . Determine a matriz da transformação linear F, isto é, $(F)_{B,C}$ com B e C as bases canônicas de $R^3$ e $R^2$ , respectivamente.

Escrevendo as imagens dos elementos da base canônica

B = \left\lbrace (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\right\rbrace

R^3

, pela transformação F, como combinações lineares dos elementos da base

C = \left\lbrace (1, 0), (0, 1)\right\rbrace

R^2

, temos:

    F(1,0,0) = (1, 0) = 1(1, 0) + 0 (0, 1)
    F(0,1,0) = (1, 0) = 1(1, 0) + 0 (0, 1)
    F(0,0,1) = (0, 2) = 0(1, 0) + 2 (0, 1)

Assim, pela definição da matriz de uma transformação linear, obtemos:

(F)_{B, C} = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right]

Exemplo 2: Seja $F: R^3 \longrightarrow R^2$ , definida por $F(x,y,z) = (x+y, 2z)$ . Determine $(F)_{B, C}$ com $B = \left\lbrace (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 0, -1)\right\rbrace$ base de $R^3$ e $C = \left\lbrace (1, 0), (1, 1) \right\rbrace$ base de $R^2$ .

Escrevendo as imagens dos elementos da base B, pela transformação linear F, como combinações lineares dos elementos da base C, temos:

F(1,1,0) = (2, 0) = \alpha_{11}(1, 0) + \alpha_{21}(1, 1) \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} \alpha_{11} + \alpha_{21} = 2 \\ \alpha_{21} = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} \alpha_{11} = 2 \\ \alpha_{21} = 0 \end{array} \right.

F(1,0,1) = (1, 2) = \alpha_{12}(1, 0) + \alpha_{22}(1, 1) \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} \alpha_{12} + \alpha_{22} = 1 \\ \alpha_{22} = 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} \alpha_{12} = -1 \\ \alpha_{22} = 2 \end{array} \right.

F(0,0,-1) = (0, -2) = \alpha_{13}(1, 0) + \alpha_{23}(1, 1) \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} \alpha_{13} + \alpha_{23} = 0 \\ \alpha_{23} = -2 \end{array} \right. \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} \alpha_{13} = 2 \\ \alpha_{23} = -2 \end{array} \right.

Assim, obtemos:

(F)_{B, C} = \left[ \begin{array}{rrr} 2 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -2 \end{array} \right]

Exemplo 3: Determinar o operador linear F do $R^2$ cuja matriz em relação a base $B = \left\lbrace (1,2), (0,5) \right\rbrace$ é:

(F)_{B} = \left[ \begin{array}{rr} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{array} \right]

Pela definição da matriz de uma transformação linear, sabemos que:

F(1,2) = 3(1,2) + 2(0,5) = (3, 16)

F(0,5) = 1(1,2) - 1(0,5) = (1, -3)

Considere um elemento

(x,y) \in R^2

, escrevendo esse elemento como combinação linear da base B, temos:

(x,y) = \alpha_1(1,2) + \alpha_2(0,5) \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} \alpha_1 = x \\ 2 \alpha_1 + 5\alpha_2 = y \end{array} \right. \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} \alpha_1 = x \\ \alpha_2 = \frac{y-2x}{5} \end{array} \right.

Desse modo, temos que:

F(x,y) = F\left( x(1,2) + \frac{y-2x}{5} (0,5)\right) = x F(1,2) + \frac{y-2x}{5} F(0,5) =

= x (3, 16) + \frac{y-2x}{5} (1,-3) = \left( 3x + \frac{y-2x}{5}, 16x - 3\left( \frac{y-2x}{5}\right) \right) = \left( \frac{13x+y}{5}, \frac{86x-3y}{5}\right) \Rightarrow

\Rightarrow F(x,y) = \frac{1}{5} (13x+y, 86x - 3y)

Veja estes e mais exemplos AQUI.

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