Isomorfismo e Automorfismo

Definições

    Sejam U e V espaços vetoriais sobre um corpo $K$. Seja $T: U \longrightarrow V$ uma transformação linear de U em V. Dizemos que T é um Isomorfismo de U em V se T é uma transformação linear bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora.

    Quando existe um isomorfismo de U em V, dizemos que os dois espaços vetoriais são Isomorfos, ou que U é Isomorfo a V.

    Um isomorfismo $T: V \longrightarrow V$ é denominado um Automorfismo de V.

    Teorema: Se T é um isomorfismo de U em V, então existe $T^{-1}: V \longrightarrow U$ que também é um isomorfismo (de V em U).

    Demonstração: AQUI.

    Observação: $T^{-1}$ é denominado o isomorfismo inverso de T e temos $T^{-1}(T(u)) = u$ e $T(T^{-1}(v)) = v$, para todo $u \in U$ e $v \in V$. Dois espaços vetoriais isomorfos U e V são considerados idênticos, de modo que para cada $v \in V$ podemos fazer a associação $T(u) \longrightarrow v$ para um único elemento $u \in U$.

    Lema: Sejam U e V espaços vetoriais sobre um corpo $K$. Se $dim(U) = n$ e $B = \left\lbrace u_1, ..., u_n \right\rbrace$ é uma base para U. Então, a aplicação $T: U \longrightarrow V$ definida por:

$$T\left( \sum_{i=1}^{n} \alpha_1 u_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i v_i$$
para $v_1, ..., v_n \in V$, é uma transformação linear.

    Demonstração: AQUI.

    Teorema: Dois espaços vetoriais U e V de dimensão finita são isomorfos se, e somente se, $dim(U) = dim(V)$.

     Demonstração: AQUI.

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Exemplos

    Exemplo 1: A transformação linear $T:R^2 \longrightarrow R^2$ dada por: $T(x, y) = (x-2y, y)$ é um isomorfismo (automorfismo do R^2).

Para mostrar que T é injetora, basta determinar o núcleo de T. Um elemento do $R^2$ pertence ao núcleo se:

$$T(x, y) = (x-2y, y) = (0, 0) \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} x-2y = 0 \\ y = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} x = 0 \\ y = 0 \end{array} \right.$$
Assim, $\mathcal{N}(T) = \left\lbrace (0, 0) \right\rbrace$ e portanto, T é injetora.
Pelo teorema do núcleo e da imagem, temos: $dim(R^2) = dim(\mathcal{N}(T)) + dim(Im(T)) \Rightarrow dim(R^2) = dim(Im(T))$. Logo, como a dimensão da imagem de T é igual a dimensão do espaço de chegada, então T é sobrejetora.

Sendo injetora e sobrejetora, temos que T é bijetora e portanto é um isomorfismo.

    Exemplo 2: Determinar o isomorfismo inverso de $T:R^3 \longrightarrow R^3$ dado por: $T(x, y, z) = (x-3y-2z, y-4z, z)$.

Vamos encontrar uma expressão para $T^{-1}$, o isomorfismo inverso de T. Lembrando que se $T^{-1}$ é isomorfismo inverso de T, então $T(u) = v \Rightarrow u = T^{-1}(v)$. Assim, supondo que $T^{-1}(x, y, z) = (a, b, c)$ temos que:

$$(x, y, z) = T(a, b, c) = (a-3b-2c, b-4c, c) \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} a-3b-2c = x \\ b-4c = y \\ c = z \end{array} \right. \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} a = x+3y+14z \\ b = y + 4z \\ c = z \end{array} \right.$$
Logo, temos: $T^{-1}(x, y, z) = (x+3y+14z, y+4z, z)$, e esta é a expressão do isomorfismo inverso de T.

    Exemplo 3: A transformação linear $T: R^3 \longrightarrow R^4$ dada por $T(x, y, z) = (x, x-y, y-z, z)$ NÃO é um isomorfismo.

Um elemento pertence ao núcleo de T se:

$$T(x, y, z) = (x, x-y, y-z, z) = (0, 0, 0, 0) \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} x = 0 \\ x-y = 0 \\ y-z = 0 \\ z = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 0 \end{array} \right.$$
Assim, $\mathcal{N}(T) = \left\lbrace (0, 0, 0) \right\rbrace$ e portando T é injetora. Porém, pelo teorema do núcleo e da imagem teremos:

$$dim(R^3) = dim(\mathcal{N}(T)) + dim(Im(T)) \Rightarrow dim(Im(T)) = 3$$
O que implica que $Im(T) \neq R^4$ e portanto, T NÃO é sobrejetora, logo T não é bijetora e não é um isomorfismo.

    Exemplo 4: A transformação linear $T: R^3 \longrightarrow P_2(R)$ definida por:

$$T(a, b, c) = (a-b) + (c-a)x + (b+c)x^2$$
é um isomorfismo de $R^3$ em $P_2(R)$.

Vamos mostrar que T é injetora. Um elemento $(a, b, c) \in R^3$ pertence ao núcleo de T se sua imagem pela transformação T for o elemento neutro de $P_2(R)$, ou seja, se:

$$T(a, b, c) = (a-b) + (c-a)x + (b+c)x^2 = 0 + 0x + 0x^2 \Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{rrrrr} a & -b & & = & 0 \\ -a & & +c & = & 0 \\ & b & +c & = & 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{rrrrr} a & -b & & = & 0 \\ & -b & +c & = & 0 \\ & b & +c & = & 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{rrrrr} a & -b & & = & 0 \\ & -b & c & = & 0 \\ & & +2c & = & 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{rrrrr} a = 0 \\ b = 0 \\ c = 0 \end{array} \right.$$
Assim, $\mathcal{N}(T) = \left\lbrace (0, 0, 0)\right\rbrace$ e portanto, T é injetora.

Pelo teorema do núcleo e da imagem, temos $dim(R^3) = dim(\mathcal{N}(T)) + dim(Im(T)) \Rightarrow dim(Im(T)) = 3$ logo $dim(Im(T)) = dim(P_2(R))$ e portanto, T é sobrejetora.

Como T é injetora e sobrejetora ela é bijetora, logo é um isomorfismo de $R^3$ em $P_2(R)$.

Vamos determinar o isomorfismo inverso $T^{-1}: P_2(R) \longrightarrow R^3$. Suponha que $T^{-1}(\alpha_1 + \alpha_2x + \alpha_3x^2) = (a, b, c)$. Logo, temos:

$$(\alpha_1+\alpha_2x+\alpha_3x^2) = T(a, b, c) = (a-b) + (c-a)x + (b+c)x^2 \Leftrightarrow$$ 
$$\Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{rrrrr} a & -b & & = & \alpha_1 \\ -a & & +c & = & \alpha_2 \\ & b & +c & = & \alpha_3 \end{array} \right. \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{rrrrl} a & -b & & = & \alpha_1 \\ & -b & +c & = & \alpha_2 + \alpha_1 \\ & b & +c & = & \alpha_3 \end{array} \right. \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{rrrrl} a & -b & & = & \alpha_1 \\ & -b & c & = & \alpha_2 + \alpha_1 \\ & & +2c & = & \alpha_3 + \alpha_2 + \alpha_1 \end{array} \right.$$
Deste sistema linear obtemos $c = \frac{\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3}{2}$, $b = -\frac{(\alpha_2 + \alpha_1 - \alpha_3)}{2}$ e $a = \frac{\alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3}{2}$.
Logo, temos:

$$T^{-1}(\alpha_1 + \alpha_2x + \alpha_3 x^2) = \left( \frac{\alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3}{2}, -\frac{(\alpha_2 + \alpha_1 - \alpha_3)}{2}, \frac{\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3}{2} \right)$$ 
$T^{-1}$ é uma transformação linear que leva um polinômio de grau menor ou igual a 2 em um vetor do $R^3$.

    Veja estes e mais exemplos AQUI.

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