Polinômio Característico

    Definição: Seja A uma matriz quadrada $n \times n$ com entradas pertencentes a um corpo $K$. Se existirem matrizes $X \in M_{n\times 1} (K)$, diferentes da matriz nula, e $\lambda \in K$ tais que $AX = \lambda X$, dizemos que $\lambda$ é um autovalor da matriz A e $X$ é um autovetor da matriz A associado ao autovalor $\lambda$.

  Definição: Dada uma matriz quadrada A de ordem $n$, o polinômio de grau $n$ dado por $p(\lambda) = det(A - \lambda I_n)$ é denominado polinômio característico da matriz A.

    Teorema: Matrizes semelhantes possuem o mesmo polinômio característico.

    Teorema: Sejam V um espaço vetorial sobre um corpo $K$ e $T: V \longrightarrow V$ um operador linear. Considere B e C bases ordenadas para V. Então,

$$(T)_C = [M]^B_C \; (T)_B \; [M]^C_B$$
onde $[M]^C_B$ e $[M]^B_C$ são as matrizes de mudança da base B para a base C e de mudança da base C para a base B, respectivamente. Ou seja, as matrizes $(T)_B$ e $(T)_C$, que representam o operador linear T com relação as bases B e C, respectivamente, são semelhantes.

    Definição: Sejam V um espaço vetorial, $T: V \longrightarrow V$ um operador linear. Como as matrizes que representam um mesmo operador linear, com relação a duas bases distintas, são semelhantes, e matrizes semelhantes possuem o mesmo polinômio característico, podemos definir o polinômio característico de um operador linear como sendo o polinômio característico da matriz $(T)_B$ que representa T com relação a qualquer base B de V.

    Teorema: Sejam V um espaço vetorial de ordem $n$ e T um operador linear. Então, os autovalores $\lambda$ de T são as raízes do polinômio característico $p(\lambda)$ do operador linear T.

     Demonstrações dos Teoremas: AQUI.

    Podemos simplificar os cálculos para os autovalores escolhendo B a base canônica de V. Considerando $v \in V$ um autovetor do operador linear T associado ao autovalor $\lambda$, isto é, $T(v) = \lambda v$, temos

$$[T(v)]_B = \lambda [v]_B \Rightarrow (T)_B \; [v]_B = \lambda [v]_B$$
Dessa forma, $[v]_B$ é um autovetor da matriz $(T)_B$ associado ao autovalor $\lambda$.

Exemplos

    Exemplo 1: Considere a matriz
$$A = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right]$$
O polinômio característico de A é dado por:

$$p(\lambda) = det(A - \lambda I_2) = \left| \begin{array}{cc} 0 - \lambda & 2 \\ 1 & 1 - \lambda \end{array} \right| = -\lambda(1-\lambda) - 2 = \lambda^2 - \lambda - 2$$
Os autovalores de uma matriz são as raízes do polinômio característico:

$$p(\lambda) = 0 \Leftrightarrow \lambda^2 - \lambda - 2 = 0 \Leftrightarrow \lambda = 2 \;\; ou \;\; \lambda = -1$$
Portanto, $\lambda_1 = 2$ e $\lambda_2 = -1$ são os autovalores da matriz A. Para $\lambda_1 = 2$ os autovetores associados são as soluções $X$, não nulas, para:

$$AX = \lambda_1X \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right] \; \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right] = \left[ \begin{array}{c} 2x_1 \\ 2x_2 \end{array}\right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} 2x_2 \\ x_1 + x_2 \end{array}\right] = \left[ \begin{array}{c} 2x_1 \\ 2x_2 \end{array}\right] \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} 2x_2 = 2x_1 \\ x_1 + x_2 = 2x_2 \end{array} \right.$$
O que implica em $x_1 = x_2$. Assim, os autovetores da matriz A associados ao autovalor $\lambda_1 = 2$ são da forma:

$$X = \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_1 \end{array}\right] = x_1 \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right]$$
Para $\lambda_2 = -1$ os autovetores associados são as soluções $X$, não nulas, tais que:

$$AX = \lambda_2X \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right] \; \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right] = \left[ \begin{array}{c} -x_1 \\ -x_2 \end{array}\right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} 2x_2 \\ x_1 + x_2 \end{array}\right] = \left[ \begin{array}{c} -x_1 \\ -x_2 \end{array}\right] \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} 2x_2 = -x_1 \\ x_1 + x_2 = -x_2 \end{array} \right.$$
O que implica em $x_2 = -\frac{x_1}{2}$. Assim, os autovetores da matriz A associados ao autovalor $\lambda_2 = -1$ são da forma:

$$X = \left[ \begin{array}{r} x_1 \\ -\frac{x_1}{2} \end{array}\right] = x_1 \left[ \begin{array}{r} 1 \\ -\frac{1}{2} \end{array}\right]$$

    Exemplo 2: Considere o operador linear $T: R^2 \longrightarrow R^2$ dado por $T(x,y) = (x+y, y)$. Considerando $B = \left\lbrace (1,0), (0,1) \right\rbrace$ a base canônica do $R^2$. Escrevendo as imagens dos elementos da base B, pela transformação T, como combinações lineares dos elementos de B, temos:

$$T(1,0) = (1, 0) = 1(1,0) + 0 (0$$
$$T(0,1) = (1, 1) = 1(1,0) + 1 (0,1)$$
Assim,
$$(T)_B = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right]$$é a matriz que representa o operador T com relação a base B. O polinômio característico de T é o polinômio característico de $(T)_B$ dado por:

$$p(\lambda) = det((T)_B - \lambda I_2) = \left| \begin{array}{cc} 1 - \lambda & 1 \\ 0 & 1 - \lambda \end{array} \right| = (1-\lambda)^2 = \lambda^2 - 2\lambda + 1$$
Os autovalores de T são os $\lambda$ que são raízes do polinômio característico, ou seja:

$$p(\lambda) = 0 \Leftrightarrow \lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0 \Leftrightarrow \lambda = 1$$
Portanto, $\lambda = 1$ é o autovalor de T. Para encontrar os autovetores associados, devemos encontrar soluções $v = (x,y) \in R^2$, não nulas, para:

$$T(x,y) = 1(x,y) \Leftrightarrow (x+y, y) = (x, y) \Leftrightarrow x + y = x \Leftrightarrow y = 0$$
Assim, os autovetores de T associados ao autovalor $\lambda = 1$ são da forma $v = (x,0) = x(1,0)$.

Veja estes e outros exemplos AQUI.

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