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Um problema comum em experimentos científicos é o de obter uma relação matemática f(x)=yf(x) = y entre duas variáveis xx e yy, isto é, obter uma curva que se ajuste aos pontos correspondentes a um conjunto de dados obtidos experimentalmente:

(x1,y1),(x2,y2),...,(xm,ym)(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_m,y_m)
Normalmente, temos alguma razão teórica para acreditar que estes pontos pertencem a uma mesma reta, parábola ou outro gráfico de função. Na prática, como os dados são obtidos experimentalmente, temos alguns erros de medição, o que torna impossível encontrarmos uma curva que se ajuste perfeitamente a todos os pontos. Assim, a ideia é escolher uma curva, determinando seus coeficientes, que melhor se ajusta aos dados.

Queremos obter uma função f:ℝ⟶ℝf: \mathbb{R} \longrightarrow\mathbb{R}, tal que:

f(xi)=yi,i=1,...,mf(x_i) = y_i,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; i = 1, ..., m
Como estas equações não podem ser satisfeitas simultaneamente, procuramos uma função f^\hat{f} que minimize os erros:

|f^(xi)-yi|,i=1,...,m\left|\hat{f}(x_i) - y_i\right|,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; i = 1, ..., m
Seja r=(r1,...,rm)tr = (r_1, ..., r_m)^t o vetor de resíduos ri=f^(xi)-yir_i = \hat{f}(x_i) - y_i. Nosso problema pode ser resolvido minimizando ‖r‖2\left\|r\right\|_2, que é o mesmo que minimizar:

‖r‖22=r12+...+rm2=(f^(x1)-y1)2+...+(f^(xm)-ym)2\left\|r\right\|_2^2 = r_1^2 + ... +r_m^2 = \left(\hat{f}(x_1) - y_1\right)^2 + ... +\left(\hat{f}(x_m) - y_m\right)^2
Este é denominado um problema de quadrados mínimos discreto, pois ajustamos uma curva a uma quantidade discreta (finita ou infinita enumerável) de dados. O caso contínuo, no qual buscamos ajustar uma curva a uma quantidade contínua de dados, não será estudado neste texto.

Caso Linear

Considerando que obtivemos uma tabela de pontos (x1,f(x1)),(x2,f(x2)),...,(xm,f(xm))(x_1, f(x_1)), (x_2, f(x_2)), ...,(x_m, f(x_m)), com x1,x2,...,xmx_1, x_2, ..., x_m pertencentes a um intervalo [a,b][a,b], o problema de ajuste de curvas consiste em escolher nn funções g1(x),g2(x),...,gn(x)g_1(x), g_2(x), ..., g_n(x), contínuas em [a,b][a,b] e obter nn constantes α1,α2,...,αn\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n tais que a função dada por:

f^(x)=α1g1(x)+α2g2(x)+...+αngn(x)\hat{f}(x) = \alpha_1g_1(x) +\alpha_2g_2(x) + ... + \alpha_n g_n(x)
seja a mais próxima possível de ff. Dizemos que este é um modelo matemático linear, pois os coeficientes α1,...,αn\alpha_1, ..., \alpha_n aparecem linearmente. As funções g1(x),...,gn(x)g_1(x), ..., g_n(x) podem ser funções não lineares de xx e a escolha destas funções é feita observando o gráfico dos pontos tabelados ou com base na teoria do experimento que forneceu os pontos.

Em geral ocorre que m>nm>n e, ao considerarmos que os pontos (x1,f(x1)),...,,(xm,f(xm))(x_1, f(x_1)), ...,, (x_m, f(x_m)) satisfazem a equação f^(x)=f(x)\hat{f}(x) = f(x), obtemos um sistema linear inconsistente, para o qual queremos encontrar uma solução de quadrados mínimos.

Digamos, por exemplo, que queremos ajustar um polinômio p(x)=α0+α1x+α2x2+...+αnxnp(x) = \alpha_0 + \alpha_1x +\alpha_2x^2 + ... + \alpha_nx^n aos pontos:

(x1,y1),(x2,y2),...,(xm,ym)(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_m,y_m)
determinados. Consideramos que estes pontos satisfazem p(xi)=yip(x_i) = y_i, para i=1,...,mi = 1,..., m, isto é:

α0+α1x1+α2x12+...+αnx1n=y1α0+α1x2+α2x22+...+αnx2n=y2⋮α0+α1xm+α2xm2+...+αnxmn=ym\begin{array}{c} \alpha_0 +\alpha_1x_1 + \alpha_2x_1^2 + ... + \alpha_nx_1^n =y_1 \\ \alpha_0 + \alpha_1x_2 + \alpha_2x_2^2 + ...+ \alpha_nx_2^n = y_2 \\ \vdots \\ \alpha_0 +\alpha_1x_m + \alpha_2x_m^2 + ... + \alpha_nx_m^n =y_m \\ \end{array}
Este sistema de equações pode ser escrito na forma matricial como:

[1x1x12⋯x1n1x2x22⋯x2n⋮⋮⋮⋮1xmxm2⋯xmn][α0α1⋮αn]=[y1y2⋮ym]\left[ \begin{array}{ccccc} 1 &x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ 1 &x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ \vdots& \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1& x_m & x_m^2 & \cdots & x_m^n\end{array} \right]\; \left[ \begin{array}{c}\alpha_0 \\ \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} y_1 \\y_2 \\ \vdots \\ y_m \end{array} \right]
Em geral, o grau do polinômio é bem menor que a quantidade de dados, ou seja, m>nm > n, e este sistema é inconsistente. Neste caso, os coeficientes α0,α1,...,αn\alpha_0, \alpha_1, ..., \alpha_n do polinômio cujo gráfico melhor se ajusta aos dados podem ser obtidos como uma solução de quadrados mínimos lineares.

Caso Não Linear

Em alguns casos, a expressão analítica para a curva de ajuste não é linear nos parâmetros αi\alpha_i, e temos que aplicar o método dos quadrados mínimos não lineares.

Por exemplo, se a curva de ajuste for φ(x)=α1eα2x\varphi(x) = \alpha_1e^{\alpha_2x} significa que de alguma forma os pontos tabelados se aproximam do gráfico desta curva, isto é:
y≈α1eα2xy \approx \alpha_1e^{\alpha_2x}
Para modelar este problema de forma linear, rearranjamos a expressão aplicando propriedades do logaritmo da seguinte forma:

y≈α1eα2x⇔ln(y)≈ln(α1eα2x)⇔ln(y)≈ln(α1)+α2xy \approx \alpha_1e^{\alpha_2x}\Leftrightarrow ln(y) \approxln(\alpha_1e^{\alpha_2x}) \Leftrightarrow ln(y)\approx ln(\alpha_1) + \alpha_2x
Chamando z=ln(y)z = ln(y), β1=ln(α1)\beta_1 = ln(\alpha_1) e β2=α2\beta_2 = \alpha_2, concluímos que se yy se aproxima de φ\varphi, então z=ln(y)z = ln(y) se aproxima de uma função linear em xx: z≈ϕ(x)=β1+β2xz \approx \phi(x) = \beta_1 +\beta_2x. Utilizamos o método de quadrados mínimos lineares para determinar os coeficientes β1\beta_1 e β2\beta_2, e posteriormente obtemos α1\alpha_1 e α2\alpha_2.

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Exemplos

Exemplo 1: suponha que obtivemos os seguintes pontos experimentalmente: (-2,0),(0,0.5),(1,1)(-2,0), (0,0.5), (1,1) e (3,1)(3,1). Analisando os pontos no plano cartesiano, notamos que uma função linear é uma boa opção de ajuste aos pontos obtidos:
ajuste1
Figura 1: uma função linear é uma opção de ajuste aos pontos (-2,0),(0,0.5),(1,1)(-2,0), (0,0.5), (1,1) e (3,1)(3,1).

Queremos encontrar um polinômio da forma p(x)=a0+a1xp(x) = a_0 + a_1x. Supondo que todos os pontos satisfazem a equação polinomial, então:

{a0+a1(-2)=0a0+a10=0.5a0+a11=1a0+a13=1\left\lbrace \begin{array}{rrcrc} a_0& + & a_1(-2) & = & 0 \\ a_0 & +& a_10 & = & 0.5 \\ a_0 & + &a_11 & = & 1 \\ a_0 & + & a_13 &= & 1 \end{array} \right.
Escrevemos este sistema na forma matricial:

Av=b⇔[1-2101113][a0a1]=[00.511]Av = b \Leftrightarrow\left[\begin{array}{cr} 1 & -2 \\ 1 & 0 \\ 1& 1 \\ 1 & 3 \end{array}\right]\;\left[\begin{array}{c} a_0 \\ a_1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0.5\\ 1 \\ 1 \end{array}\right]
Vamos determinar uma solução de quadrados mínimos deste sistema, utilizando a fatoração ortogonal da matriz AA. Com uma precisão de 4 casas decimais, obtemos:

A=QR=[-0.50000.6934-0.09600.5099-0.50000.1387-0.4018-0.7545-0.5000-0.13870.8428-0.1430-0.5000-0.6934-0.34500.3876][-2.0000-1.00000-3.60560000]A = QR = \left[\begin{array}{rrrr}-0.5000 & 0.6934 & -0.0960 & 0.5099 \\-0.5000 & 0.1387 & -0.4018 & -0.7545 \\-0.5000 & -0.1387 & 0.8428 & -0.1430 \\-0.5000 & -0.6934 & -0.3450 & 0.3876\end{array}\right] \; \left[\begin{array}{rr}-2.0000 & -1.0000 \\ 0 & -3.6056 \\ 0 &0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]
onde QQ é uma matriz ortogonal. Da matriz RR extraímos a matriz 2×22\times 2 triangular superior:

R^=[−2.0000−1.00000−3.6056]\hat{R} = \left[\begin{array}{rr}-2.0000 & -1.0000 \\ 0 & -3.6056\end{array}\right]
Temos que QtAv=Qtb⇔Rv=cQ^tAv = Q^tb \Leftrightarrow Rv = c, onde:

c=Qtb=[-0.5000-0.5000-0.5000-0.50000.69340.1387-0.1387-0.6934-0.0960-0.40180.8428-0.34500.5099-0.7545-0.14300.3876][00.511]=[-1.2500-0.76270.2969-0.1326]c = Q^tb = \left[\begin{array}{rrrr}-0.5000 & -0.5000 & -0.5000 & -0.5000 \\0.6934 & 0.1387 & -0.1387 & -0.6934 \\-0.0960 & -0.4018 & 0.8428 & -0.3450 \\0.5099 & -0.7545 & -0.1430 & 0.3876\end{array}\right] \; \left[\begin{array}{c} 0 \\0.5 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{r} -1.2500 \\ -0.7627 \\ 0.2969\\ -0.1326 \end{array}\right]
Do vetor cc extraímos o vetor:

c^=[-1.2500-0.7627]\hat{c} = \left[\begin{array}{r}-1.2500 \\ -0.7627 \end{array}\right]
Assim, temos o seguinte sistema triangular superior:

R^v=c^⇔[−2.0000−1.00000−3.6056][a0a1]=[−1.2500−0.7627]\hat{R}v = \hat{c} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{rr} -2.0000 & -1.0000 \\ 0& -3.6056 \end{array}\right] \;\left[\begin{array}{rr} a_0 \\ a_1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r} -1.2500\\ -0.7627 \end{array}\right]
cuja solução (0.5192,0.2115)\left(0.5192, 0.2115 \right) é também uma solução de quadrados mínimos do sistema inicial. Portanto, o polinômio de grau 1:

p(x)=0.5192+0.2115xp(x) = 0.5192 + 0.2115x
é aquele que melhor se ajusta aos pontos obtidos, entre todos os possíveis polinômios de grau 1.

ajuste2
    Figura 2: o polinômio p(x)=0.5192+0.2115xp(x) = 0.5192 + 0.2115x é o que melhor se ajusta aos pontos.


Exemplo 2: suponha que obtivemos experimentalmente a seguinte tabela de dados:
x
 -1
 0
 1
 2
 3
y
 -14
 -5
 -4
 1
 22

Analisando estes pontos no plano cartesiano, podemos supor que os valores de xx e yy estão relacionados por um polinômio de grau 3:
ajuste3
Figura 3: um polinômio de grau 3 é uma opção de ajuste aos pontos tabelados.

Queremos encontrar o polinômio cúbico p(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 de melhor ajuste dos pontos (-1,-14),(0,-5),(1,-4),(2,1)(-1, -14), (0,-5), (1, -4), (2, 1) e (3,22)(3,22). Se os pontos satisfizessem a equação polinomial, então:

{a0+a1(-1)+a2(-1)2+a3(-1)3=-14a0+a10+a202+a303=-5a0+a11+a212+a313=-4a0+a12+a222+a323=1a0+a13+a232+a333=22⇔\left\lbrace \begin{array}{ccccccccr}a_0 & + & a_1(-1) & + & a_2(-1)^2& + & a_3(-1)^3 & = & -14 \\ a_0& + & a_1 0 & + & a_2 0^2 & +& a_3 0^3 & = & -5 \\ a_0 & + &a_1 1 & + & a_2 1^2 & + & a_3 1^3& = & -4 \\ a_0 & + & a_1 2 & +& a_2 2^2 & + & a_3 2^3 & = & 1\\ a_0 & + & a_1 3 & + & a_2 3^2& + & a_3 3^3 & = & 22 \end{array}\right. \;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow
⇔{a0+a1(-1)+a21+a3(-1)=-14a0+a10+a20+a30=-5a0+a11+a21+a31=-4a0+a12+a24+a38=1a0+a13+a29+a327=22\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{array}{ccccccccr} a_0 & + & a_1(-1)& + & a_21 & + & a_3(-1) & =& -14 \\ a_0 & + & a_1 0 & + &a_2 0 & + & a_3 0 & = & -5 \\ a_0& + & a_1 1 & + & a_2 1 & +& a_3 1 & = & -4 \\ a_0 & + &a_1 2 & + & a_2 4 & + & a_3 8 &= & 1 \\ a_0 & + & a_1 3 & + &a_2 9 & + & a_3 27 & = & 22\end{array} \right.
Escrevemos este sistema na forma matricial:

Av=b⇔[1-11-110001111124813927][a0a1a2a3]=[-14-5-4122]Av = b \Leftrightarrow\left[\begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 1 &-1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1& 1 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 3& 9 & 27 \end{array}\right]\;\left[\begin{array}{c} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r} -14 \\-5 \\ -4 \\ 1 \\ 22 \end{array}\right]
Vamos determinar uma solução de quadrados mínimos utilizando a fatoração ortogonal da matriz AA. Utilizando uma precisão de 4 casas decimais, obtemos:

A=QR=A = QR =
=[-0.4472-0.63250.5345-0.3162-0.1195-0.4472-0.3162-0.26730.63250.4781-0.44720-0.53450-0.7171-0.44720.3162-0.2673-0.63250.4781-0.44720.63250.53450.3162-0.1195][-2.2361-2.2361-6.7082-15.652503.16236.324620.2386003.741711.22500003.79470000]= \left[\begin{array}{rrrrr} -0.4472& -0.6325 & 0.5345 & -0.3162 &-0.1195 \\ -0.4472 & -0.3162 & -0.2673 &0.6325 & 0.4781 \\ -0.4472 & 0 & -0.5345& 0 & -0.7171 \\ -0.4472 & 0.3162 &-0.2673 & -0.6325 & 0.4781 \\ -0.4472 &0.6325 & 0.5345 & 0.3162 & -0.1195\end{array}\right] \; \left[\begin{array}{rrrr}-2.2361 & -2.2361 & -6.7082 & -15.6525\\ 0 & 3.1623 & 6.3246 & 20.2386 \\ 0& 0 & 3.7417 & 11.2250 \\ 0 & 0& 0 & 3.7947 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]
onde QQ é uma matriz ortogonal. Da matriz RR extraímos a matriz 4×44\times 4 triangular superior:

R^=[-2.2361-2.2361-6.7082-15.652503.16236.324620.2386003.741711.22500003.7947]\hat{R} = \left[\begin{array}{rrrr}-2.2361 & -2.2361 & -6.7082 & -15.6525\\ 0 & 3.1623 & 6.3246 & 20.2386 \\ 0& 0 & 3.7417 & 11.2250 \\ 0 & 0& 0 & 3.7947 \end{array}\right]
Temos que QtAv=Qtb⇔Rv=cQ^tAv = Q^tb \Leftrightarrow Rv = c, onde:

c=Qtb=[-0.4472-0.4472-0.4472-0.4472-0.4472-0.6325-0.316200.31620.63250.5345-0.2673-0.5345-0.26730.5345-0.31620.63250-0.63250.3162-0.11950.4781-0.71710.4781-0.1195][-14-5-4122]=[024.66587.48337.58950]c = Q^tb = \left[\begin{array}{rrrrr}-0.4472 & -0.4472 & -0.4472 & -0.4472& -0.4472 \\ -0.6325 & -0.3162 & 0 &0.3162 & 0.6325 \\ 0.5345 & -0.2673 &-0.5345 & -0.2673 & 0.5345 \\ -0.3162 &0.6325 & 0 & -0.6325 & 0.3162 \\ -0.1195& 0.4781 & -0.7171 & 0.4781 &-0.1195 \end{array}\right]\; \left[\begin{array}{r}-14 \\ -5 \\ -4 \\ 1 \\ 22 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{c} 0 \\ 24.6658 \\ 7.4833 \\7.5895 \\ 0 \end{array}\right]
Do vetor cc extraímos o vetor:

c^=[024.66587.48337.5895]\hat{c} = \left[\begin{array}{c} 0 \\24.6658 \\ 7.4833 \\ 7.5895 \end{array}\right]
Assim, temos o sistema triangular superior:

R^v=c^⇔[-2.2361-2.2361-6.7082-15.652503.16236.324620.2386003.741711.22500003.7947][a0a1a2a3]=[024.66587.48337.5895]\hat{R}v = \hat{c} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{rrrr} -2.2361 & -2.2361& -6.7082 & -15.6525 \\ 0 & 3.1623 &6.3246 & 20.2386 \\ 0 & 0 & 3.7417 &11.2250 \\ 0 & 0 & 0 & 3.7947\end{array}\right] \;\left[\begin{array}{rr} a_0 \\a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{c} 0 \\ 24.6658 \\ 7.4833 \\7.5895 \end{array}\right]
cuja solução (-5,3,-4,2)\left(-5, 3, -4, 2 \right) é também uma solução de quadrados mínimos do sistema inicial. Portanto, o polinômio de grau 3:

p(x)=-5+3x-4x2+2x3p(x) = -5 + 3x - 4x^2 + 2x^3
é o que melhor se ajusta aos pontos tabelados, entre todos os polinômios de grau 3.
ajuste4
 
Figura 4: o polinômio p(x)=-5+3x-4x2+2x3p(x) = -5 + 3x - 4x^2 + 2x^3 é o que melhor se ajusta aos pontos.
Última Atualização: 04/08/2016.