Espaços Vetoriais

Definição

    Um conjunto não vazio é um Espaço Vetorial, definido sobre um corpo K$\mathds{K}$ (que pode ser os reais ou os complexos), se satisfaz as condições:

        (A)  Existe uma operação de Adição, entre dois elementos $u,v \in V$, cujo resultado é um elemento $u+v \in V$. (Fechamento da Adição).

    Para todos os elementos $u, v e w \in V$ a Adição satisfaz:
    (A1) $u+v = v+u$;
    (A2) $(u+v)+w = u+(v+w)$;
    (A3) $\exists \ e \in V$, denominado elemento neutro, tal que $u+e=e + u = u$;
    (A4) Para cada $u \in V, \exists (-u) \in V$, denominado elemento oposto de u, tal que $u+(-u) = e$.

        (M) Existe uma operação de Multiplicação, entre um elemento $u \in V$ e um escalar $\Kalpha \i$K (Real ou Complexo), cujo resultado é um elemento $\alpha u \in V$. (Fechamento da Multiplicação por Escalar).

    Para todos os elementos $u, v \in V$ e os escalares $\alpha, \beta \in$K a Multiplicação satisfaz:
    (M1) $(\alpha\beta)u = \alpha(\beta u)$;
    (M2) $\(\alpha+\beta)u = \alpha u + \beta u$;
    (M3) $\alpha(u+v) = \alpha u + \alpha v$;
    (M4) $1u = u$.

    O espaço vetorial é chamado de Espaço Vetorial Real se for definido sobre o corpo dos reais R, ou seja, quando os escalares são números reais, e Espaço Vetorial Complexo se for definido sobre o corpo dos complexos C, ou seja, quando os escalares forem números complexos.

Exemplos

    Exemplo: O conjunto $R^n = \left\lbrace v=(x_1, x_2, ...,x_n) \mid x_i \in R \right\rbrace$ , para $n=1,2,...,$, com a operação de adição definida por:

$$u+v = (x_1,...,x_n)+(y_1,...,y_n) = (x_1+y_1,...,x_n+y_n)$$
e a multiplicação por um escalar $\alpha \in R$ definida por:
$$\alpha u = (\alpha x_1,..., \alpha x_n)$$
é um espaço vetorial real.

    Veja este e mais exemplos AQUI.

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Propriedades e Teoremas

    Teorema 1: O elemento neutro do espaço vetorial é único.

    Teorema 2: Existe um único elemento oposto $(-u)$ para cada $u \in V$.

    Um espaço vetorial satisfaz as propriedades:

    (P1)    Para todo $\alpha \in R$, $\alpha e = e$, onde $e$ é o elemento neutro da adição;
    (P2)    $0u = e$, para todo $u \in V$, com $e$ o elemento neutro de $V$;
    (P3)    Para $\alpha \in R$ e $u \in V$, $\alpha u = e$ só é possível se $\alpha = 0$ ou $u = e$;
    (P4)    Para todo $\alpha \in R$ e todo $u \in V$, $(-\alpha)u = \alpha(-u) = -(\alpha u)$;
    (P5)    Para quaisquer $u,v \in V$ e $\alpha \in R$, $\alpha (u-v) = \alpha u - \alpha v$;
    (P6)    Para quaisquer $\alpha, \beta \in R$ e $u \in V$, $(\alpha - \beta) u = \alpha u - \beta u$;
    (P7)    Para quaisquer $\beta$ e $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_r \in R$ e $u_1, u_2, ..., u_r \in V,$ $\beta \sum_{i=1}^{r} \alpha_i u_i = \sum_{i=1}^{r} (\beta \alpha_i) u_i$.

    Demonstrações: AQUI.

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