Definição: Sejam U e V espaços vetoriais sobre um corpo K. Denotamos

L(U,V)

o conjunto de todas as transformações lineares de U em V. O conjuntos dos operadores lineares de U será denotado por

L(U)

.

Definição: Sejam

F, G \in L(U,V)

. A Adição de F com G é uma aplicação,

F+G: U \longrightarrow V

, dada por:

(F+G)(u) = F(u) + G(u), \;\;\;\;\; \forall u \in U

Propriedades da Adição: Para toda

F, G, H \in L(U, V)

valem as seguintes propriedades:

(A1) Associativa:

F + (G+H) = (F+G)+H

;

(A2) Comutativa:

F+G = G+F

;

(A3) Existe um elemento neutro de

L(U, V)

;

(A4) Para toda

F \in L(U, V)

existe a transformação oposta

(-F) \in L(U, V)

tal que

F + (-F) = E

, onde

E

é a transformação nula.

Veja as demonstrações AQUI.

Definição: Sejam

F \in L(U, V)

\alpha \in K

. A Multiplicação da transformação F por um escalar é uma aplicação

\alpha F: U \longrightarrow V

, dada por:

(\alpha F)(u) = \alpha F(u), \;\;\;\;\;\ \forall u \in U

Propriedades da Multiplicação por Escalar: Para toda

F, G \in L(U, V)

\alpha, \beta \in K

valem as seguintes propriedades:

(M1) Associativa:

(\alpha \beta)F = \alpha(\beta F)

;

(M2)

(\alpha + \beta) F = \alpha F + \beta F

;

(M3)

\alpha(F+G) = \alpha F + \alpha G

;

(M4)

1F = F

;

Veja as demonstrações AQUI.

Podemos concluir que

L(U, V)

, o conjunto de todas as transformações lineares de U em V, com as operações de Adição e Multiplicação por um escalar definidas, com suas respectivas propriedades, é um espaço vetorial.

Definição: Sejam U, V e W espaços vetoriais sobre um corpo K. Sejam

F:U \longrightarrow V

G: V \longrightarrow W

transformações lineares. A Composição das transformações F e G é uma aplicação, denotada por

G \circ F: U \longrightarrow W

, dada por:

(G \circ F)(u) = G(F(u)), \;\;\;\; \forall u \in U

As operações de adição, multiplicação por escalar e composição de transformações lineares são transformações lineares. Demonstração: AQUI.

Definição: No espaço vetorial

L(U)

podemos definir a operação de Potenciação para expoentes naturais da seguinte forma:

F^0 = I, \;\;\;\; F^1 = F, \;\;\;\; F^2 = F \circ F \;\;\;\; e \;\;\;\; F^n = F \circ F^{n-1}, \;\;\;\; para \;\;\; n \in N

Dizemos que F é um operador idempotente ou projeção se

F^2 = F

, F é um operador auto-reflexivo se

F^2 = I

(transformação identidade) e F é um operador nilpotente se

F^n = E

(transformação nula), para algum

n \in N

.

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Exemplos

Exemplo 1: Considere F, G e H operadores lineares em $R^2$ , dados por: $F(x, y) = (x, 2y)$ , $G(x, y) = (y, x+y)$ , $H(x, y) = (0, x)$ . Determinar: F+G, F+3G-H, $F\circ G$ , $G \circ F$ , $G \circ (H + F)$ , $G \circ H$ , $H \circ F$ , $H \circ G \circ F$ e $G \circ F \circ H$ .

Neste caso, todas as aplicações estão bem definidas, pois F, G e H são ambos operadores lineares de

R^2

. Assim, temos:

$(F+G)(x, y) = F(x, y) + G(x, y) = (x, 2y) + (y, x+y) = (x+y, x+3y)$ ;

$(F+3G-H)(x, y) = F(x, y) + 3G(x, y) - H(x, y) = (x, 2y) + 3(y, x+y) - (0, x) = (x + 3y, 2x+5y)$ ;

$(F \circ G)(x, y) = F(G(x,y)) = F(y, x+y) = (y, 2x+2y)$ ;

$(G \circ F) (x, y) = G(F(x, y)) = G(x, 2y) = (2y, x+2y)$ ;

$(G \circ(H+F))(x, y) = G((H+F)(x, y)) = G(H(x, y) + F(x, y)) = G((0,x) + (x, 2y)) = G(x, x+2y) = (x+2y, 2x+2y)$ ;

$(G\circ H)(x, y) = G(H(x, y)) = G(0, x) = (x, x)$ ;

$(H \circ F)(x, y) = H(F(x, y)) = H(x, 2y) = (0, x)$ ;

$(H \circ G \circ F)(x, y) = H(G(F(x,y))) = H(G(x,2y)) = H(2y, x+2y) = (0, 2y)$ ;

$(G \circ F \circ H)(x, y) = G(F(H(x,y))) = G(F(0,x)) = G(0, 2x) = (2x, 2x)$ .

Exemplo 2: O operador linear de projeção sobre o eixo x:
$\begin{array}{llll} T: & R^2 & \longrightarrow & R^2 \\ & (x,y) & \longmapsto & T(x,y) = (x,0) \end{array}$
é um operador idempotente.

De fato, temos que:

T^2(x,y) = (T \circ T)(x,y) = T(T(x,y)) = T(x,0) = (x,0)

Assim,

T^2 = T

e o operador é idempotente. Observe que com a transformação T, cada elemento (x,y) é projetado no eixo x e, uma vez no eixo x, sua projeção coincide com ele mesmo.

O operador linear T é um operador idempotente.

Exemplo 3: O operador linear de reflexão em torno do eixo x:

\begin{array}{llll} T: & R^2 & \longrightarrow & R^2 \\ & (x,y) & \longmapsto & T(x,y) = (x,-y) \end{array}

é um operador auto-reflexivo.

De fato, temos que:

T^2(x,y) = (T \circ T)(x,y) = T(T(x,y)) = T(x,-y) = (x,-(-y)) = (x,y)

Assim,

T^2 = I

e o operador é auto-reflexivo. Observe que com a transformação T, cada elemento (x,y) é refletido com relação ao eixo x e, uma vez refletido, sua reflexão volta a ser o próprio elemento (x,y).

O operador linear T é um operador auto-reflexivo.

Veja estes e mais exemplos AQUI.

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Exemplos