Norma e Distância

Note que uma norma só pode ser definida em um espaço vetorial com produto interno e seu cálculo depende do produto interno que está sendo usado, da mesma forma que a distância depende da norma. Um espaço vetorial com norma é denominado espaço normado e um espaço vetorial com distância é denominado espaço métrico.

Norma e Distância Euclidianas em $R^n$ : Considere o espaço vetorial

R^n

com produto interno. Sejam

u = (u_1, u_2, ..., u_n)

v = (v_1, v_2, ..., v_n)

vetores do

R^n

. Então, a norma com relação ao produto interno Euclidiano, denotada por

\left\| \cdot \right\|_2

e definida por:

\left\| v \right\|_2 = \sqrt{\langlev,v \rangle} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2}

é denominada norma euclidiana do

R^n

. Além disso, a distância com relação a norma euclidiana, definida por:

d(u,v) = \left\| u-v \right\|_2 =\sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + ... + (u_n -v_n)^2}

é denominada distância euclidiana do

R^n

.

Exemplo 1: Considere o espaço vetorial

R^3

com norma e distância euclidianas, e os vetores

u = (1, 1, 1)

v = (4, 3, 0)

R^3

. Temos que:

\left\| u \right\|_2 = \sqrt{\langleu,u \rangle} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}

\left\| v \right\|_2 = \sqrt{\langlev,v \rangle} = \sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{25} =5

d(u,v) = \left\| u-v \right\|_2 =\left\| (-3, -2, 1) \right\|_2 = \sqrt{(-3)^2 +(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{14}

o que exemplifica o cálculo de normas e distâncias euclidianas no

R^3

.

Teorema 1 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz): Seja

V

um espaço com produto interno. Se

u

v

são elementos de

V

, então:

\left| \langle u,v \rangle \right|\leq \left\| u \right\| \left\| v \right\|

e a igualdade é válida se, e somente se, os elementos

u

v

são linearmente dependentes.

Demonstração: AQUI.

Teorema 3: Sejam

V

um espaço com produto interno,

u

v

elementos de

V

\lambda \in R

um escalar. Então, valem as seguintes propriedades:

(a)

\left\| v \right\| \geq 0

, com

\left\| v \right\| = 0

se, e somente se,

v = e_V

.
(b)

\left\| \lambda v \right\| =|\lambda| \left\| v \right\|

.
(c)

\left\| u+v \right\| \leq \left\| u\right\| + \left\| v \right\|

(Desigualdade Triangular).

Demonstração: Usando as propriedades da definição de produto interno, temos:

(a)

\left\| v \right\| = \sqrt{\langlev,v \rangle} \geq 0

por (2) e além disso,

\langle v,v \rangle = 0\Leftrightarrow v = e_V

e então

\left\| v \right\| = 0\Leftrightarrow v = e_V

.

(b)

\left\| \lambda v \right\| =\sqrt{\langle \lambda v, \lambda v \rangle}\stackrel{(4)}{=} \sqrt{\lambda \langle v,\lambda v\rangle} \stackrel{(1)}{=} \sqrt{\lambda \langle\lambda v,v \rangle} \stackrel{(4)}{=}\sqrt{\lambda^2 \langle v,v \rangle} = |\lambda|\sqrt{\langle v,v \rangle} = |\lambda| \left\| v\right\|

.
(c) Temos que:

\left\| u+v \right\|^2 = \langleu+v,u+v \rangle \stackrel{(3)}{=} \langle u,u+v\rangle + \langle v,u+v \rangle = \langle u,u\rangle + \langle u,v \rangle + \langle v,u \rangle+ \langle v,v \rangle \stackrel{(1)}{=}

= \langle u,u \rangle + 2\langle u,v\rangle + \langle v,v \rangle \leq \langle u,u\rangle + 2|\langle u,v \rangle| + \langle v,v\rangle \leq \langle u,u \rangle + 2 \left\| u\right\| \left\| v \right\| + \langle v,v \rangle =

= \left\| u \right\|^2 + 2 \left\| u\right\| \left\| v \right\| + \left\| v \right\|^2 =(\left\| u \right\| + \left\| v \right\|)^2

As desigualdades seguem de uma propriedade do valor absoluto e da desigualdade de Cauchy-Schwarz, respectivamente. Extraindo a raiz quadrada nos dois lados da inequação, temos:

\left\| u+v \right\|^2 \leq (\left\|u \right\| + \left\| v \right\|)^2 \Leftrightarrow\left\| u+v \right\| \leq \left\| u \right\| +\left\| v \right\|

o que completa a demonstração.

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Última Atualização: 01/02/2016.