Norma e Distância
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Definição: Seja VV um espaço vetorial com produto interno. A norma (ou comprimento) de um elemento v∊Vv \in V, denotada por ‖v‖\left\| v \right\|, é definida por:

‖v‖=⟨v,v⟩\left\| v \right\| = \sqrt{\langle v,v \rangle}
E a distância (ou métrica) entre dois elementos uu e vv de VV, denotada por d(u,v)d(u,v), é definida por:

d(u,v)=‖u-v‖d(u,v) = \left\| u-v \right\|
Note que uma norma só pode ser definida em um espaço vetorial com produto interno e seu cálculo depende do produto interno que está sendo usado, da mesma forma que a distância depende da norma. Um espaço vetorial com norma é denominado espaço normado e um espaço vetorial com distância é denominado espaço métrico.


Norma e Distância Euclidianas em RnR^n: Considere o espaço vetorial RnR^n com produto interno. Sejam u=(u1,u2,...,un)u = (u_1, u_2, ..., u_n) e v=(v1,v2,...,vn)v = (v_1, v_2, ..., v_n) vetores do RnR^n. Então, a norma com relação ao produto interno Euclidiano, denotada por ‖⋅‖2\left\| \cdot \right\|_2 e definida por:

‖v‖2=⟨v,v⟩=v12+v22+...+vn2\left\| v \right\|_2 = \sqrt{\langle v,v \rangle} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2}
é denominada norma euclidiana do RnR^n. Além disso, a distância com relação a norma euclidiana, definida por:

d(u,v)=‖u-v‖2=(u1-v1)2+(u2-v2)2+...+(un-vn)2d(u,v) = \left\| u-v \right\|_2 = \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + ... + (u_n - v_n)^2}
é denominada distância euclidiana do RnR^n.


Exemplo 1: Considere o espaço vetorial R3R^3 com norma e distância euclidianas, e os vetores u=(1,1,1)u = (1, 1, 1) e v=(4,3,0)v = (4, 3, 0) do R3R^3. Temos que:

‖u‖2=⟨u,u⟩=12+12+12=3\left\| u \right\|_2 = \sqrt{\langle u,u \rangle} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}
‖v‖2=⟨v,v⟩=42+32+02=25=5\left\| v \right\|_2 = \sqrt{\langle v,v \rangle} = \sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5
d(u,v)=‖u-v‖2=‖(-3,-2,1)‖2=(-3)2+(-2)2+12=14d(u,v) = \left\| u-v \right\|_2 = \left\| (-3, -2, 1) \right\|_2 = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{14}
o que exemplifica o cálculo de normas e distâncias euclidianas no R3R^3.


Teorema 1 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz): Seja VV um espaço com produto interno. Se uu e vv são elementos de VV, então:

|⟨u,v⟩|≤‖u‖‖v‖\left| \langle u,v \rangle \right| \leq \left\| u \right\| \left\| v \right\|
e a igualdade é válida se, e somente se, os elementos uu e vv são linearmente dependentes.

Demonstração: AQUI.


Teorema 3: Sejam VV um espaço com produto interno, uu e vv elementos de VV e λ∊R\lambda \in R um escalar. Então, valem as seguintes propriedades:

(a) ‖v‖≥0\left\| v \right\| \geq 0, com ‖v‖=0\left\| v \right\| = 0 se, e somente se, v=eVv = e_V.
(b) ‖λv‖=|λ|‖v‖\left\| \lambda v \right\| = |\lambda| \left\| v \right\|.
(c) ‖u+v‖≤‖u‖+‖v‖\left\| u+v \right\| \leq \left\| u \right\| + \left\| v \right\| (Desigualdade Triangular).

Demonstração: Usando as propriedades da definição de produto interno, temos:

(a) ‖v‖=⟨v,v⟩≥0\left\| v \right\| = \sqrt{\langle v,v \rangle} \geq 0 por (2) e além disso, ⟨v,v⟩=0⇔v=eV\langle v,v \rangle = 0 \Leftrightarrow v = e_V e então ‖v‖=0⇔v=eV\left\| v \right\| = 0 \Leftrightarrow v = e_V.

(b) ‖λv‖=⟨λv,λv⟩=(4)λ⟨v,λv⟩=(1)λ⟨λv,v⟩=(4)λ2⟨v,v⟩=|λ|⟨v,v⟩=|λ|‖v‖\left\| \lambda v \right\| = \sqrt{\langle \lambda v, \lambda v \rangle} \stackrel{(4)}{=} \sqrt{\lambda \langle v,\lambda v \rangle} \stackrel{(1)}{=} \sqrt{\lambda \langle \lambda v,v \rangle} \stackrel{(4)}{=} \sqrt{\lambda^2 \langle v,v \rangle} = |\lambda| \sqrt{\langle v,v \rangle} = |\lambda| \left\| v \right\|.
(c) Temos que:
‖u+v‖2=⟨u+v,u+v⟩=(3)⟨u,u+v⟩+⟨v,u+v⟩=⟨u,u⟩+⟨u,v⟩+⟨v,u⟩+⟨v,v⟩=(1)\left\| u+v \right\|^2 = \langle u+v,u+v \rangle \stackrel{(3)}{=} \langle u,u+v \rangle + \langle v,u+v \rangle = \langle u,u \rangle + \langle u,v \rangle + \langle v,u \rangle + \langle v,v \rangle \stackrel{(1)}{=}
=⟨u,u⟩+2⟨u,v⟩+⟨v,v⟩≤⟨u,u⟩+2|⟨u,v⟩|+⟨v,v⟩≤⟨u,u⟩+2‖u‖‖v‖+⟨v,v⟩= = \langle u,u \rangle + 2\langle u,v \rangle + \langle v,v \rangle \leq \langle u,u \rangle + 2|\langle u,v \rangle| + \langle v,v \rangle \leq \langle u,u \rangle + 2 \left\| u \right\| \left\| v \right\| + \langle v,v \rangle =
=‖u‖2+2‖u‖‖v‖+‖v‖2=(‖u‖+‖v‖)2= \left\| u \right\|^2 + 2 \left\| u \right\| \left\| v \right\| + \left\| v \right\|^2 = (\left\| u \right\| + \left\| v \right\|)^2
As desigualdades seguem de uma propriedade do valor absoluto e da desigualdade de Cauchy-Schwarz, respectivamente. Extraindo a raiz quadrada nos dois lados da inequação, temos:

‖u+v‖2≤(‖u‖+‖v‖)2⇔‖u+v‖≤‖u‖+‖v‖\left\| u+v \right\|^2 \leq (\left\| u \right\| + \left\| v \right\|)^2 \Leftrightarrow \left\| u+v \right\| \leq \left\| u \right\| + \left\| v \right\|
o que completa a demonstração.


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Última Atualização: 01/02/2016.