Método de Shooting

$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$

Considere o problema de valor de contorno \begin{equation}\label{shooting:pvc} y''=f(t,y,y'), \quad a\lt x \lt b, \qquad y(a)=\alpha, \quad y(b) = \beta. \end{equation}

Suponha que este PVC tenha solução única (discutido na de aula anterior). A figura a seguir ilustra o que poderia ser o gráfico da solução do PVC.

Como estamos considerando equações diferenciais de segunda ordem, a solução de equação diferencial é determinada pela imposição de duas condições adicionais, sejam elas condições iniciais ou de contorno. Sendo assim, a mesma função exibida no gráfico acima é determinada com as condições de contorno impostas nos extremos ou com condições iniciais impostas em $x=0$, desde que consistentes.

Tome por exemplo o PVC \begin{equation}\label{shooting:exemplo} y''+4y=0, \quad 0\lt x \lt {\pi\over 4}, \qquad y(0)=1, \quad y(\pi/4) = 1. \end{equation} Repare que este exemplo, apesar de parecido, é diferente do apresentado no vídeo. A solução deste PVC é $y(x) = \cos(2x)+\sin(2x)$ (verifique!). Observe que $y'(0) = 2$. Logo, a mesma função $y$ também é solução do problema de valor inicial $$ y''+4y=0, \quad 0\lt x \lt {\pi\over 4}, \qquad y(0)=1, \quad y'(0) = 2. $$

Esta equivalência entre um PVC e um PVI, desde que conhecida a condição inicial adequada, é a ideia por detrás do método de shooting. Neste método, a inteção é descobrir qual a condição inicial que, atrelada à equação diferencial, determina a mesma solução do PVC original. A vantagem de estabelecer uma equivalência como essa é que passamos a ter a disposição para a resolução de um PVC os métodos já estudados para PVI.

Considere o PVI, construído a partir do PVC \eqref{shooting:pvc}, $$ y'' = f(t,y,y'), \quad a\lt x \lt b, \qquad y(a)=\alpha, \quad y'(a) = s. $$ Seja $y(x;s)$ a solução deste PVI. Para que $y$ seja também solução do PVC \eqref{shooting:pvc}, basta que $y(b;s) = \beta$. Sendo assim, do ponto de vista formal, precisamos determinar $s$ tal que \begin{equation}\label{shooting:cond} F(s) \equiv y(b;s)-\beta = 0. \end{equation} No entanto, resolver a equação acima também não é simples, dado que a dependência de $y$ com respeito a $s$ não aparece de forma explícita. Uma alternativa é empregar o método da bissecção ou o método de Newton à função $F,$ por exemplo.

PVC linear

A situação fica mais simples no caso de um PVC linear \begin{equation}\label{shooting:pvclinear} Ly \equiv -y''+p(x)y'+q(x)y = r(x), \quad a\lt x \lt b, \qquad y(a)=\alpha, \quad y(b) = \beta. \end{equation} Ao invés de um PVI, considere dois: \begin{align} Lu =& r(x), \quad a\lt x \lt b, & u(a)=\alpha, \quad u'(a) = 0,\label{pvi1} \\ Lv =& 0, \quad a\lt x \lt b, & v(a)=0, \quad v'(a) = 1.\label{pvi2} \end{align} Suponha agora que $y=u(x) + sv(x)$. Não é difícil ver que $y$ satisfaz a equação diferencial em \eqref{shooting:pvclinear} e a condição em $x=0.$ Para $y$ ser solução do PVC, resta também satisfazer a condição em $x=b$, porém, neste caso, $y(b;s) = u(b) + sv(b)$. Assim, resolver \eqref{shooting:cond} fica simplesmente tomar \begin{equation}\label{shooting:s} s = \frac{\beta - u(b)}{v(b)}. \end{equation}

Vejamos como essa estratégia se aplica ao problema de exemplo em \eqref{shooting:exemplo} (que é linear!). Os dois PVI's são: \begin{align} u''+4u&=0, \quad 0\lt x \lt {\pi\over 4}, & u(0)=1, \quad u'(0)=0, \label{expvi1} \\ v''+4v&=0, \quad 0\lt x \lt {\pi\over 4}, & v(0)=0, \quad v'(0)=1. \label{expvi2} \end{align} A solução de \eqref{expvi1} é $u(x) = \cos(2x)$ e a solução de \eqref{expvi2} é $v(x) ={1\over 2}\sin(2x)$. Logo $$ y (x)=u(x)+sv(x) = \cos(2x) + {s\over 2}\sin(2x). $$ Para que $y(\pi/4) = 1$, basta escolher $s$ como em \eqref{shooting:s} $$ s = {1 - u(\pi/4)\over v(\pi/4)} = 2. $$ Portanto, $y(x) = \cos(2x) + \sin(2x).$

Sobre este exemplo, você pode estar se perguntando: Resolver os problemas \eqref{expvi1} e \eqref{expvi2} é realmente mais simples que resolver o problema original \eqref{shooting:exemplo}? Neste caso, não. O PVC original é tão fácil de resolver quanto os dois PVI's, do ponto de vista analítico. Porém, na prática nos interessa estudar PVC's para os quais a resolução analítica não é uma opção. Assim, transformá-lo em dois PVI's abre espaço para utilizarmos métodos para problemas de valor inicial, que já foram estudados.

PVI e o formato padrão

Lembre que quando estudamos métodos numéricos para resolver um problema de valor inicial era necessário que o problema estivesse no formato padrão. Como os PVI's \eqref{pvi1} e \eqref{pvi2} não estão nesse formato, caso queira resolvê-los numericamente, será preciso reescrevê-los. Há uma aula exatamente sobre esse tema que você pode revisar.

Na próxima aula, veremos como esta estratégia se comporta do ponto de vista numérico.

Referências

Hebert B. Keller. Numerical Methods for Two-Point Boundary-Value Problems. Dover, 1992.

Para os PVC's abaixo, exiba quais os dois PVI's associados, considerados pelo método de shooting.

1. $-y''+5x^3y'+4xy=\sqrt{1+x^2},\quad 0\lt x\lt 4, \quad y(0)=2, \quad y(4) = -1$
2. $y''-y/4=2x,\quad 0\lt x \lt 2,\quad y(0)=1, \quad y(2)=4$
3. $-y''+\sqrt{y}=0,\quad 1\lt x \lt 10,\quad y(1) = 3, \quad y(10) = 6$
4. $-(w(x)y')'+q(x)y = r(x),\quad a\lt x \lt b,\quad y(a)=\alpha, \quad y(b)=\beta$

resposta

2. Considere o problema de valor de contorno $$ y'' - {y\over 4} = 2x, \quad 0\lt x\lt 2, \qquad y(0) = 1, \quad y(2) = 4. $$ Para resolver este problema, resolva analiticamente os dois PVI's: \begin{align*} u'' - {u\over 4} &= 2x, \quad 0\lt x\lt 2,& u(0) = 1, \quad u'(0) = 0, \\[6pt] v'' - {v\over 4} &= 0, \quad 0\lt x\lt 2,& v(0) = 0, \quad v'(0) = 1. \end{align*} Determine $s$, tal que $y=u+sv$ seja a solução do PVC.

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