Esta é mais uma aula onde os polinômios de Taylor fazem a festa. Desta vez eles vão ajudar a construir fórmulas numéricas para aproximar derivadas de uma função.
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Podemos afirmar que...
A. diferença centrada é um aproximação de segunda ordem.
B. diferença atrasada é pior que diferenças avançada.
C. para valores menores de as fórmulas de diferenças fornecem aproximações melhores.
Fórmulas de diferenças finitas são utilizadas...
A. na construção de métodos numéricos para PVC.
B. na estimativa de derivadas de funções amostradas.
C. no cálculo do polinômio de Taylor.
Rever a aula sobre polinômio de Taylor é uma boa ideia?
A. Sim.
B. Com certeza
O principal uso para fórmula numéricas para derivadas está na resolução de problemas de valor de contorno (PVC), pelo método de diferenças finitas. Nesse método, as derivadas que aparecem na equação diferencial são substituídas por aproximações computadas por diferenças entre os valores de função avaliados sobre uma malha. Essas fórmulas de diferenças são construídas com base no polinômio de Taylor.
Seja uma função com derivadas contínuas. O Teorema de Taylor diz que onde está entre e e é o polinômio de Taylor de grau para em torno de , dado por
As aproximações que vamos construir só podem depender de valores da função sobre uma malha regular de espaçamento O porquê desta restrição ficará mais claro na próxima aula, quando estudarmos o método de diferenças finitas.
Começamos por buscar uma aproximação para usando os valores de em e em pontos vizinhos da malha, ou seja ou Com efeito, de com Disto, tiramos que Como não é conhecido e queremos uma aproximação apenas em termos dos valores de função, chegamos à primeira fórmula de diferenças finitas para primeira derivada, conhecida como diferença avançada, dada por Se representam pontos da malha e representam aproximações para então a fórmula acima fica
De forma análoga, podíamos ter escrito em termos do Taylor centrado em Disto, tiramos que de onde obtemos a fórmula de diferença atrasada, dada por ou
Ambas as fórmulas são de primeira ordem, uma vez que o termo que foi negligenciado era proporcional a Para obter uma aproximação de ordem mais alta mesclamos informação de mais pontos em simultâneo. Por exemplo, tomando o polinômio de Taylor de grau 2, temos Ao computar subtrair de , chegamos a ou Desta forma, chegamos à fórmula de diferença centradas Diferentemente das anteriores, esta é uma aproximação de segunda ordem, uma vez que o termos negligenciado é proporcional a
Uma aproximação de segunda ordem para a derivada segunda surge quando é somado a e consideramos o polinômio de Taylor de grau A fórmula de diferenças obtida é
Em todas as aproximações acima, como o termo negligenciado sempre é proporcional a uma potência maior ou igual a 1 de a medida que é reduzido, reduz-se o erro de aproximação. No caso da diferença avançada (ou atrasada) temos inclusive que o que não passa da própria definição de derivada. O mesmo ocorre para as demais fórmulas de diferenças. Entretanto, quando a aproximação é computada em precisão finita não observamos esse decréscimo ilimitado do erro. Este fenômeno foi analisado em detalhes em outra aula deste curso.
Na próxima aula, veremos o que acontece quando uma dessas fórmulas é usada na prática. Em outra aula, veremos como essas aproximações para derivadas permitirão a construção do método de diferenças finitas e a resolução de problemas de valor de contorno.
1. Se mostre que a aproximação de diferença centrada para é
2. Usando os dados da tabela a seguir, estime e
, .
3. Deduza a fórmula e estime o erro de aproximação ao usá-la.