Linearização

$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$

Na técnica de ajuste de curva pelo método de quadrados mínimos lineares, buscamos determinar os coeficientes de uma função $\phi$, que seja escrita como \begin{equation}\label{qm07:cl} \phi(x) = c_1\phi_1(x) + c_2\phi_2(x) + \cdots + c_n\phi_n(x), \end{equation} onde $\phi_1,\ldots,\phi_n$ são conhecidas e $c_1,\ldots, c_n$ são os coeficientes a determinar. Por exemplo, $$ \phi(x) = c_1 \cdot \underbrace{x^2}_{\phi_1(x)} + c_2 \underbrace{\sqrt{x^3 + 1}}_{\phi_2(x)}. $$ Repare que a função $\phi$ não precisa ser linear em $x$ (e raramente o será).

Porém, nem sempre funções montadas como em \eqref{qm07:cl} são suficientes. Um modelo clássico para descrever o crescimento populacional foi proposto por Thomas Malthus , em 1798 e ainda usado até hoje, dentro de certos limites. No modelo de Malthus, caso não haja limitação de recursos que impeçam o crescimento da população, a taxa de crescimento populacional é proporcional à população atual. Em termos matemáticos, se $p(t)$ é a população no instante $t$ e $\alpha$ é a taxa de natalidade líquida (natalidade menos a mortalidade), então $$ {dp\over dt} = \alpha p(t). $$ Esta equação diferencial tem como solução \begin{equation}\label{malthus} p(t) = p_0 e^{\alpha t}. \end{equation} Se quisermos descobrir $p_0$ e $\alpha$ que melhor ajustam a curva em \eqref{malthus} a dados de população, não poderemos usar o método de quadrados mínimos como vimos nas aulas passadas pois a função $p$ não se encaixa no padrão de \eqref{qm07:cl} (combinação linear de funções conhecidas).

Como vimos no vídeo, podemos tentar aplicar uma transformação que linearize o problema de ajuste.

Para o exemplo acima, $$ y \approx p(t) = p_0 e^{\alpha t} \quad \Rightarrow \quad z \equiv \ln(y) \approx \ln p(t) = \ln(p_0) + \alpha t, $$

Observe que nas variáveis $(t,z)$ o problema de ajuste passa a ser linear. Precisamos determinar $c_1 \equiv \ln(p_0)$ e $c_2 \equiv \alpha$ tal que $z$ seja aproximado no sentido de quadrados mínimos por $c_1 + c_2 t$.

Vejamos como lidar com isso, usando o Octave. Para começar, para o Brazil, temos os seguintes dados aferidos pelo IBGE.

Ano	População (milhões)		Ano	População (milhões)
1872	9.9		1960	70.8
1890	14.3		1970	94.5
1900	17.4		1980	121.2
1920	30.6		1991	146.9
1940	41.2		2000	169.6
1950	51.9		2010	190.8

No Octave, entraremos com os dados fazendo:

# Dados da tabela:
t = [1872 1890 1900 1920 1940:10:1980 1991 2000 2010]';
y = [9.9 14.3 17.4 30.6 41.2 51.9 70.8 94.5 121.2 146.9 169.6 190.8]';

# Nova variável dependente, computada a partir de y
z = log(y);

Uma vez definidos os vetores que representam os valores tabelados e o vetor $z$ que representa a transformação de $y$, podemos construir o sistema normal e resolvê-lo.

# Matriz do sistema sobredeterminado
P = [ones(12,1) t];

# Sistema normal
A = P'*P;
b = P'*z;     # Repare que estamos usando a variável z, ao invés de y

c = A\b
c =

  -3.9671e+01
   2.2406e-02

Descobertos os coeficientes da solução de quadrados mínimos para o problema linearizado, precisamos retornar aos coeficientes do problema original e, por fim, exibir a solução.

p0 = exp(c(1));
alpha = c(2);

# Função ajustada
p = @(t) p0 * exp(alpha * t);

# Vetor denso para poder exibir o gráfico
T = linspace(1872,2010);
plot(t,y,'o',T,p(T))

Por fim, precisamos destacar que nem sempre é possível linearizar um problema de quadrados mínimos. No vídeo, vimos um exemplo de função que não poderia ser linearizada. Quando isto ocorre, o problema de quadrados mínimos continua fazendo sentindo, mas sua resolução não recai em um sistema linear, mas sim em um sistema não linear. Mesmo no caso em que uma linearização é possível, fica a pergunta: existe diferença entre a solução de quadrados mínimos do problema linearizado e a solução de quadrados mínimos do problema não linear? Que tal ver um exemplo antes de tirar conclusões?

1. Exiba, se possível, a transformação que lineariza as funções abaixo, com respeito aos coeficientes, ou seja, as transforma em uma combinação linear de funções conhecidas.

1. $\phi(x) = \sin(a + bx)$
2. $\phi(x) = a+\cos(bx)$
3. $\phi(x) = \sqrt{ax+b}$
4. $\phi(x) = 2^{(a+bx)}$
5. $\phi(x) = \displaystyle{x+1\over ax^3+bx^2 + 1}$

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