Erro na Regra de Simpson

O erro de integração numérica é definido como $$\begin{array}{}\text{(1)}& E_S={\int }_a^{b}f(x)dx-Q_S[f],\end{array}$$ onde $Q_S[f]=\frac{h}{3}[f(a)+4f(m)+f(b)]$, para $m=(a+b)/2$ e $h=(b-a)/2.$

Para poder estimar $E_S$ vamos expandir em Taylor todas as quantidades envolvidas, em torno do ponto $m$. Desta forma ficará mais fácil compará-las.

Se $f$ tiver até quatro derivadas contínuas, então usando o polinômio de Taylor de ordem 4, podemos escrever $f(x)$ como $$\begin{array}{rl}f(m+t)=& f(m)+f^{\prime }(m)t+\frac{f^{″}(m)}{2!}{t}^2+\\ \text{(2)}& & \frac{f^{‴}(m)}{3!}{t}^3+\frac{f^{(4)}(m)}{4!}{t}^4+\mathcal{O}(t^5).\end{array}$$ Com isso, observe que $$\begin{array}{rl}{\int }_a^{b}f(x)dx=& {\int }_{-h}^{h}f(m+t)dx\\ =& {\int }_{-h}^{h}f(m)+f^{\prime }(m)t+\frac{f^{″}(m)}{2!}{t}^2+\frac{f^{‴}(m)}{3!}{t}^3+\frac{f^{(4)}(m)}{4!}{t}^{4}dt\\ & +{\int }_{-h}^h\mathcal{O}(t^5)dt\\ \text{(3)}& =& 2hf(m)+\frac{h^3}{3}{f}^{″}(m)+\frac{h^5}{60}{f}^{(4)}(m)+\mathcal{O}(h^6).\end{array}$$

Usando novamente $\text{(2)}$, temos que $$\begin{array}{rcl}f(a)=f(m-h)& =& f_m-h{f}_m^{\prime }+\frac{h^2}{2!}{f}_m^{″}-\frac{h^3}{3!}{f}_m^{‴}+\frac{h^4}{4!}{f}_m^{(4)}+\mathcal{O}(h^5)\\ 4f(m)& =& 4f_m\\ f(b)=f(m+h)& =& f_m+h{f}_m^{\prime }+\frac{h^2}{2!}{f}_m^{″}+\frac{h^3}{3!}{f}_m^{‴}+\frac{h^4}{4!}{f}_m^{(4)}+\mathcal{O}(h^5)\\ \\ f(a)+4f(m)+f(b)& =& 6f_m\phantom{+h{f}_m^{\prime }}+h^2{f}_m^{″}\phantom{+\frac{h^3}{3!}{f}_m^{‴}}+\frac{h^4}{12}{f}_m^{(4)}+\mathcal{O}(h^5)\end{array}$$ Multiplicando o resultado acima por $h/3$, obtemos que $$\begin{array}{}\text{(4)}& Q_S[f]=2hf(m)+\frac{h^3}{3}{f}^{″}(m)+\frac{h^5}{36}{f}^{(4)}(m)+\mathcal{O}(h^6).\end{array}$$

Da definição do erro de integração, $\text{(1)}$, podemos ver que $$E_S=-\frac{h^5}{90}{f}^{(4)}(m)+\mathcal{O}(h^6).$$ Este erro para a regra de Simpson também pode ser escrito como $$-\frac{h^5}{90}{f}^{(4)}(m)+\mathcal{O}(h^6)=-\frac{h^5}{90}[f^{(4)}(m)+\mathcal{O}(h)]=-\frac{h^5}{90}{f}^{(4)}(\xi ),\xi \in (a,b).$$

Se o intervalo $[a,b]$ for particionado em $n=2k$ subintervalos de tamanhos regulares, podemos aplicar a regra de Simpson simples a cada par de subintervalos. Neste caso, $${\int }_a^{b}f(x)dx=\sum _{k=1}^{n/2}{\int }_{x_{2(k-1)}}^{x_{2k}}f(x)dx.$$ Logo, o erro será $$\begin{array}{rl}{E}_{SC}[f]& =\sum _{k=1}^{n/2}-\frac{h^5}{90}{f}^{(4)}({\xi }_k)=-\frac{h^5}{90}\sum _{k=1}^{n/2}{f}^{(4)}({\xi }_k)\\ & =-\frac{n}{2}\frac{h^5}{90}\left[\frac{\sum _{k=1}^{n/2}{f}^{(4)}({\xi }_k)}{n/2}\right]\\ & =-\frac{n}{2}\frac{h^5}{90}{f}^{(4)}(\xi )=-\frac{(b-a)h^4}{180}{f}^{(4)}(\xi ).\end{array}$$ Aqui, usamos que a média de valores de uma função contínua é igual ao valor da função em algum ponto intermediário, e que $nh=(b-a)$.

1. Se $g$ é uma função contínua, mostre que $\sum _{k=1}^{m}g(x_k)=mg(x)$, para algum $x$ entre os pontos $x_k$.

2. Aproxime ${\displaystyle {\int }_2^3\frac{1}{1+t}dt}$, usando 4 subintervalos.

1. Qual a estimativa para o erro?
2. Qual o erro de fato cometido?
3. Quantos pontos devem ser usados na regra do Simpson para garantir que o erro seja menor que ${10}^{-5}$?

3. Aproxime a integral ${\displaystyle I={\int }_1^2[x^3+\ln x]dx}$, pela regra de Simpson, usando a menor quantidade de subintervalos necessária para garantir um erro inferior a ${10}^{-3}$.