Exemplo de LU com pivoteamento

Passo a passo para computar a decomposição LU com pivoteamento parcial em um exemplo

Vamos lá?

Na aula passada vimos como incorporar a estratégia de pivoteamento parcial na decomposição LU, mas é bem verdade que o algoritmo fica meio indigesto. Nesta aula, vamos fazer um exemplo passo a passo para melhorar essa sensação de desconforto!

Após o escalonamento da primeira coluna, se um novo pivoteamento for realizado, que cuidado temos que tomar?

A. Não trocar a linha do pivô com alguma linha anterior.
B. A mesma troca feita na matriz de coeficientes deve ser replicada na matriz $P.$
C. A mesma troca feita na matriz de coeficientes deve ser replicada na matriz $L,$ exceto pela diagonal.

Em relação à decomposição LU sem pivoteamento, o cálculo da decomposição LU com pivotem-anto consome

A. menos operações de ponto flutuante.
B. a mesma quantidade de operações de ponto flutuante.
C. mais operações de ponto flutuante.

No Octave, o cálculo da decomposição LU com pivoteamento parcial é feito através da função lu. A sintaxe para isso é [L,U,P]=lu(A). Desta forma, quando você for fazer um exercício (na mão) para treinar, você pode conferir os fatores que descobriu, comparando-os com os obtidos pelo Octave.

No Octave, o exemplo do vídeo seria resolvido assim:

A = [ -2.4  -0.8  2.0  2.8
        12.0   2.0  4.0  1.0
         6.0   0.0  4.0  5.5
         3.6   0.6  2.2  3.8];
b = [5.4 -9.0  4.5  6.3]';
[L,U,P] = lu (A)
L =

   1.0000        0        0        0
   0.5000   1.0000        0        0
  -0.2000   0.4000   1.0000        0
   0.3000        0   0.5000   1.0000

U =

   12    2    4    1
    0   -1    2    5
    0    0    2    1
    0    0    0    3

P =

Permutation Matrix

   0   1   0   0
   0   0   1   0
   1   0   0   0
   0   0   0   1

y = L \ (P*b)
y =

  -9
   9
   0
   9

x = U\y
x =

  -1.0000
   3.0000
  -1.5000
   3.0000

Referência

David S. Watkins. Fundamentals of Matrix Computations. John Wiley & Sons, 2ª ed., 2002.

1. Resolva o sistema linear abaixo, computando para isto a decomposição LU com pivoteamento. $$ \left[ \begin{array}{rrr} 2 & 1 & -3 \\ 4 & 0 & 1 \\ 6 & -2 & 0 \end{array}\right] x = \left[ \begin{array}{r} -7\\\ -2\\\ -8 \end{array}\right]. $$

A solução é $x=(-1,1,2)^T.$

2. Suponha que os fatores $L$ e $U$ de uma matriz $A$ estão empacotados uma única matriz $B,$ da seguinte forma: a porção triangular inferior de $B$ armazena $L$ (sem a diagonal) e a porção triangular superior de $B$ armazena $U$ (com a diagonal). Além disso uma segunda matriz $P$ armazena as trocas de linha por conta do pivoteamento. Escreva um algoritmo para resolver o sistemas linear $Ax=b,$ usando $B$ e $P.$

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