Exemplo em precisão finita
O que acontece quando o escalonamento é realizado em sistemas de ponto flutuante
Vamos lá?
Nas aulas passadas vimos como resolver um sistema linear por escalonamento ou através da decomposição LU. Nesta aula vamos ver o que acontece se as operações são realizadas em um sistema de ponto flutuante e quais cuidados devemos ter nesse caso.
- 1
- 2
- 3
O que representa a notação ?
O sistema linear do exemplo do vídeo foi
Mesmo assim, a solução computada numericamente foi muito ruim,
Ao trocar a ordem das equações, ficamos com o sistema
De modo geral, devemos evitar trabalhar com pivôs pequenos. Este exemplo foi construído utilizando o processo de escalonamento, mas resultado semelhante aconteceria se estivéssemos computando a decomposição LU e utilizando-a para resolver o sistema linear.
Na próxima aula, veremos uma estratégia prática para evitar pivôs pequenos, conhecida como pivoteamento parcial, sem a qual podemos ter resultados verdadeiramente desastroso do ponto de vista numérico.
Referência
Lloyd N. Trefethen e David Bau, III. Numerical Linear Algebra. SIAM, 1997.
Nesse exercício, trabalhe com apenas 4 dígitos significativos.
- Escalone o sistema linear abaixo (método de eliminação de Gauss) e resolva-o.
- Escalone o sistema linear abaixo (método de eliminação de Gauss) e resolva-o.
- Observe que os dois sistemas lineares anteriores diferem apenas pela ordem das equações e que a solução exata é
e As soluções obtidas no item (a) e (b) foram as mesmas? Explique o que aconteceu.
No item (a), o pivô é
No item (b), o pivô é
Enquanto que no item (a) a solução foi