Existência de solução para equações não lineares

Resolver uma equação não linear da forma $f(x)=0$ é o mesmo que buscar os zeros da função $f,$ isto é, os valores de $x$ para os quais a função se anula. Existem diversos métodos numéricos para estimar as soluções da equação (ou os zeros de função). Porém, antes de aplicar um método numérico, pode ser importante localizar o zero, ou seja, identificar um intervalo $[a,b]$ que certamente contenha um zero da função. O teorema de Bolzano é uma ferramenta teórica que permite isto.

Teorema de Bolzano: Seja $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ uma função contínua, tal que $f(a)\cdot f(b) \lt 0.$ Então existe $c\in(a,b)$ tal que $f(c) =0$.

Este teorema tem uma interpretação geométrica bem clara. O gráfico de uma função contínua que troca de sinal nos extremos de um intervalo tem que ter atravessado o eixo das ordenadas. Esta é a essência do teorema de Bolzano .

Mesmo que a função não troque de sinal nos extremos de um intervalo, ainda pode haver pontos onde a função se anula. Ou seja, as hipóteses do teorema de Bolzano não são necessárias, mas sim suficientes para a existência de um zero da função. No exemplo da figura abaixo, veja que a função é positiva tanto em $a$ quanto em $b,$ mas mesmo assim se anula em dois pontos no interior do intervalo.

Para aplicar o teorema acima na tentativa de localizar a solução de uma equação, uma dificuldade pode ser obter um intervalo $[a, b]$ onde $f(a)$ e $f(b)$ têm sinais opostos. Caso não haja uma escolha indicada pela interpretação do problema, resta obter este intervalo por tentativa e erro.

Ainda que o teorema de Bolzano nos permita analisar a existência de solução para uma equação em um intervalo, ele nada nos diz sobre a unicidade dessa solução. Para isso, precisamos de hipóteses mais fortes e de outra aula.

1. Prove que cada equação abaixo tem solução e exiba um intervalo finito contendo pelo menos uma solução da equação.

1. $\cos\left(\frac{x+2}{x+6}\right)+ \frac{x}{6}=0$
2. $4\cos(x) - e^{2x} = 0$
3. $(x+2)^4=e^{-x^2+2}$
4. $1 - x\ln(x) = 0$
5. $\frac{x}{2} = \tan(x)$

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2. Um valor $p$ tal que $f(p) = p$ é dito um ponto fixo da função $f.$ Mostre que existe ponto fixo para a função $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dada por $$f(x) = {3 + \sin (2x^2) \over 2 + \cos(x^2)}. $$

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