Sobre como usar o Teorema de Bolzano para assegurar a existência de soluções para equações não lineares
Vamos lá?
Antes de sair buscando uma solução para uma equação não linear é importante saber se a equação de fato tem solução. O Teorema de Bolzano é uma ferramenta teórica para isso. Nesta aula, eu relembro este teorema e mostro um exemplo de como utilizá-lo.
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No contexto de uma equação não linear para que usamos o Teorema de Bolzano?
A. Para determinar pelo menos uma solução para a equação.
B. Para descartar intervalos onde com certeza não haja solução.
C. Para identificar intervalos onde com certeza haja solução.
Satisfeitas as hipóteses do teorema, o que pode ser dito sobre o intervalo ?
A. O intervalo contém zeros de
B. O intervalo contém um único zero de
Se a função for contínua em e então podemos afirmar que...
A. não há zeros de em
B. pode haver zeros de em
C. se houver zeros de em será em quantidade par.
Resolver uma equação não linear da forma é o mesmo que buscar os zeros da função isto é, os valores de para os quais a função se anula. Existem diversos métodos numéricos para estimar as soluções da equação (ou os zeros de função). Porém, antes de aplicar um método numérico, pode ser importante localizar o zero, ou seja, identificar um intervalo que certamente contenha um zero da função. O teorema de Bolzano é uma ferramenta teórica que permite isto.
Teorema de Bolzano: Seja uma função contínua, tal que Então existe tal que .
Este teorema tem uma interpretação geométrica bem clara. O gráfico de uma função contínua que troca de sinal nos extremos de um intervalo tem que ter atravessado o eixo das ordenadas. Esta é a essência do teorema de Bolzano .
Mesmo que a função não troque de sinal nos extremos de um intervalo, ainda pode haver pontos onde a função se anula. Ou seja, as hipóteses do teorema de Bolzano não são necessárias, mas sim suficientes para a existência de um zero da função. No exemplo da figura abaixo, veja que a função é positiva tanto em quanto em mas mesmo assim se anula em dois pontos no interior do intervalo.
Para aplicar o teorema acima na tentativa de localizar a solução de uma equação, uma dificuldade pode ser obter um intervalo onde e têm sinais opostos. Caso não haja uma escolha indicada pela interpretação do problema, resta obter este intervalo por tentativa e erro.
Ainda que o teorema de Bolzano nos permita analisar a existência de solução para uma equação em um intervalo, ele nada nos diz sobre a unicidade dessa solução. Para isso, precisamos de hipóteses mais fortes e de outra aula.
1. Prove que cada equação abaixo tem solução e exiba um intervalo finito contendo pelo menos uma solução da equação.
(a) (b) (c) (d) (e)
2. Um valor tal que é dito um ponto fixo da função Mostre que existe ponto fixo para a função , dada por
Se , então é contínua e troca de sinal no intervalo . Logo tem um zero em e portanto tem um ponto fixo nesse intervalo.