Regra de Simpson

Na regra do trapézio o integrando é aproximado por um polinômio de grau 1. Vimos na aula passada que essa aproximação leva a um método efetivo para a estimativa de integrais definidas, porém com a eventual necessidade de repartir o intervalo de integração em muitos subintervalos. O caminho natural para conseguir uma fórmula de integração mais acurada é melhorar a aproximação do integrando. O método de Simpson faz isso aproximando o integrando por um polinômio de grau 2. Para a determinação de um polinômio interpolador de grau 2, devemos prescrever 3 pontos de interpolação. Na figura a seguir ilustra o polinômio utilizado na regra de Simpson, interpolando a função nos extremos do intervalo e também no ponto médio.

A determinação do polinômio $p_2$ pode ser feita através da representação em termos de polinômios de Lagrange, diretamente como $$p_2(x)=f_a\frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}+f_m\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}+f_b\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)},$$ onde $f_a=f(a)$, $f_m=f(m)$ e $f_b=f(b)$. Definindo $h=(m-a)=(b-m)$, $p_2$ pode ser reescrito como $$\begin{array}{}\text{(1)}& p_2(x)=f_a\frac{(x-m)(x-b)}{2h^2}-f_m\frac{(x-a)(x-b)}{h^2}+f_b\frac{(x-a)(x-m)}{2h^2}.\end{array}$$ A regra de Simpson surge de aproximar a integral de $f$ pela integral de $p_2$. Com efeito, $$I\equiv {\int }_a^{b}f(x)dx\approx {\int }_a^b{p}_2(x)dx=2h{\int }_0^1{p}_2(2hu+a)du,$$ onde usamos a mudança de variável $u=(x-a)/(2h)$. Ao utilizar essa mudança, o integrando se escreve em termos apenas de $u$ e $h$ como $$\begin{array}{rl}{p}_2(2hu+a)& =f_a\frac{(2hu-h)(2hu-2h)}{2h^2}-f_m\frac{2hu(2hu-2h)}{h^2}+f_b\frac{2hu(2hu-h)}{2h^2}\\ & =\frac{f_a}{2}(2u-1)(2u-2)-f_{m}2u(2u-2)+\frac{f_b}{2}2u(2u-1).\end{array}$$ Logo $$\begin{array}{rl}{\int }_a^{b}f(x)dx& \approx 2h[f_a{\int }_0^1(2u-1)(u-1)du-4f_m{\int }_0^{1}u(u-1)du+f_b{\int }_0^{1}u(2u-1)du]\\ & =2h[\frac{1}{6}{f}_a+\frac{4}{6}{f}_m+\frac{1}{6}{f}_b]\\ & =\frac{h}{3}(f_a+4f_m+f_b).\end{array}$$ Desta forma, definimos a fórmula de quadratura de Simpson como $$Q_S[f]=\frac{h}{3}(f_a+4f_m+f_b).$$

Assim como fizemos para a regra do trapézio composta, uma maneira de melhorar a qualidade da integração numérica é aplicar repetidamente a regra acima a subintervalos do intervalo de integração. Como a regra de Simpson simples já trabalha com dois subintervalos (de $a$ a $m$ e de $m$ a $b$), na regra composta precisamos obrigatoriamente trabalhar com uma quantidade par de subintervalos, para poder usá-los dois a dois na aplicação da regra simples. Considere a situação ilustrada na figura a seguir.

Neste exemplo, o intervalo original foi fracionado em 4 subintervalos regulares. Logo, a aplicação repetida da regra de Simpson simples leva a $$I\approx \frac{h}{3}[(f_0+4f_1+f_2)+(f_2+4f_3+f_4)],$$ onde $f_j=f(x_j)$ e $h$ é comprimento dos subintervalos. Perceba que os pontos internos a cada dupla de subintervalos ficam com peso $4$, enquanto que pontos fronteiriços a duplas de subintervalos ficam com peso $2$. De modo geral, a regra de Simpson composta é dada por $$\begin{array}{}\text{(2)}& Q_{SC}[f]=\frac{h}{3}[f_0+4f_1+2f_2+4f_3+\cdots +2f_{n-2}+4f_{n-1}+f_n]\end{array}$$ ou ainda $$\begin{array}{}\text{(3)}& Q_{SC}[f]=\frac{h}{3}[f_0+4\sum _{j=1}^{n/2}{f}_{2j-1}+2\sum _{j=1}^{n/2-1}{f}_{2j}+f_n],\end{array}$$ onde $h=(b-a)/n$ e $n$ é par.

Utilizar essa fórmula é tão simples quanto usar a fórmula do trapézio. Vejamos como fazer isto no Octave, usando novamente como exemplo ${\int }_1^4(1/x)\exp (x/2)dx.$

f = @(x) 1./x .* exp(x/2);
n = 20;                     # quantidade par de subintervalos
x = linspace (1,4,n+1);     # malha de pontos
h = x(2)-x(1)               # espaçamento entre pontos consecutivos
h =  0.15000
y = f(x);
Q = (h/3) * (y(1) + 4*sum(y(2:2:end-1)) + 2*sum(y(3:2:end-2)) + y(end))
Q =  4.5000
R = quad(f,1,4);
abs(R-Q)
ans = 1.6145e-05

Usando apenas 21 pontos conseguimos um erro absoluto, quando comparado à estimativa da rotina quad do Octave, da ordem de ${10}^{-5}$. Esta estimativa é melhor que a obtida com a regra do trapézio quando foram usados 101 pontos (veja aula sobre trapézios).

Com este exemplo parece que podemos afirmar que conseguimos atender à expectativa inicial de construir uma fórmula mais acurada que a regra do trapézio composta.

Claro que um único exemplo não é suficiente e uma análise do erro de integração é necessária. Por ora, fique tranquilo, a regra de Simpson é melhor mesmo! Isso significa que devemos sempre usar Simpson ao invés de usar a regra do trapézio? Bom, nem sempre. A regra de Simpson tem duas restrições importantes que sua rival não tem. Em primeiro lugar, os nós de integração devem estar igualmente distribuídoss, pois a fórmula $\text{(1)}$ foi derivada com esta hipótese. Isso nem sempre é possível, principalmente quando apenas amostras de $f$ são conhecidas, possivelmente vindas de algum experimento. Em segundo lugar, a quantidade de subintervalos, $n$, deve ser par. Se alguma destas hipóteses falhar, resta-nos usar a regra do trapézio.

Na próxima aula estudaremos o erro de integração numérica na regra de Simpson.

1. Utilize a regra de Simpson composta para estimar $${\int }_0^{0.5}\frac{1}{x}\text{arcsinh}xdx.$$ Experimente com diferentes valores de $n$ (quantidade de subintervalos) e determine qual o valor mínimo para o qual a diferença entre sua estimativa e a estimativa produzida pelo comando quad do Octave fica abaixo de ${10}^{-6}.$ Compare seu resultado de agora com o obtido nesse mesmo exercício quando feito com a regra do trapézio composta.

Dica: ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}\text{arcsinh}x=1.}$