Unicidade de solução para equações não lineares
Sobre como garantir a unicidade de solução para equações não lineares em um intervalo
Vamos lá?
Será que é possível garantir que uma equação não linear tem apenas uma solução em um intervalo? Este é o assunto desta aula.
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Para aplicar o teorema, deve ser um intervalo tal que e a função deve ser...
No exemplo do vídeo, a função troca de sinal nos extremos do intervalo e a derivada da função mantém o sinal (positivo) nos extremos do intervalo. Por que então não era possível garantir a existência de um único zero em ?
Enquanto que a existência de zeros para funções contínuas pode eventualmente ser garantida examinando-se apenas os extremos de intervalos (assunto da aula passada), a unicidade não pode ser assegurada sem que todo o intervalo seja analisado.
Note que garantir que exista apenas um zero em um intervalo é o mesmo que pedir que a função corte o eixo das ordenadas uma única vez. Uma maneira de garantir isso é pedir que a função seja estritamente crescente (se
Teorema: Seja
Se a função for diferenciável, a condição de monotonicidade converte-se em uma condição sobre a derivada da função, traduzida neste corolário.
Corolário: Seja
Claro que a exigência de monotonicidade da função é um exagero. Há funções que, mesmo não sendo monótonas, cruzam o eixo das ordenadas uma única vez (você consegue construir um exemplo?). Neste sentido, o teorema acima traz condições suficientes para a unicidade do zero da função, mas que certamente não são condições necessárias.
Atenção: para dizer que uma função diferenciável é estritamente crescente no intervalo
1. Dê exemplos de funções contínuas, para cada um dos casos abaixo (basta desenhar o gráfico).
- A função é monótona crescente em
mas não tem zero neste intervalo. - A função
é tal que , e tem mais de um zero no intervalo - A função
é tal que , e tem um único zero no intervalo
2. Prove que cada equação abaixo tem solução e exiba um intervalo finito contendo pelo menos uma solução da equação. Analise se é possível garantir a unicidade da solução no intervalo identificado.