Unicidade de solução para equações não lineares

Enquanto que a existência de zeros para funções contínuas pode eventualmente ser garantida examinando-se apenas os extremos de intervalos (assunto da aula passada), a unicidade não pode ser assegurada sem que todo o intervalo seja analisado.

Note que garantir que exista apenas um zero em um intervalo é o mesmo que pedir que a função corte o eixo das ordenadas uma única vez. Uma maneira de garantir isso é pedir que a função seja estritamente crescente (se $f(a) \lt 0 \lt f(b)$) ou estritamente decrescente (se $f(a) \gt 0 \gt f(b)$). Dessa forma, após cruzar o eixo uma vez não haveria como cruzá-lo novamente. Esta é a essência do teorema abaixo.

Teorema: Seja $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ uma função contínua e estritamente monótona. Se $f(a)\cdot f(b) \lt 0,$ então existe um único $x\in(a,b)$ tal que $f(c) =0.$

Se a função for diferenciável, a condição de monotonicidade converte-se em uma condição sobre a derivada da função, traduzida neste corolário.

Corolário: Seja $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ uma função diferenciável em $(a,b).$ Se $f(a)\cdot f(b) \lt0$ e $f'(x)$ não troca de sinal em $(a,b),$ então existe um único $c\in(a,b)$ tal que $f(c) =0.$

Claro que a exigência de monotonicidade da função é um exagero. Há funções que, mesmo não sendo monótonas, cruzam o eixo das ordenadas uma única vez (você consegue construir um exemplo?). Neste sentido, o teorema acima traz condições suficientes para a unicidade do zero da função, mas que certamente não são condições necessárias.

Atenção: para dizer que uma função diferenciável é estritamente crescente no intervalo $(a, b)$ é preciso verificar se $f'(x) \gt 0$ para todo $x \in (a, b),$ e não apenas nos pontos $a$ e $b.$ Comentário análogo vale também para funções estritamente decrescentes.

1. Dê exemplos de funções contínuas, para cada um dos casos abaixo (basta desenhar o gráfico).

1. A função é monótona crescente em $(a,b)$ mas não tem zero neste intervalo.
2. A função $f$ é tal que $f(a)\cdot f(b) \lt 0,$ $f'(a) \gt 0$, $f'(b)\gt 0$ e $f$ tem mais de um zero no intervalo $(a,b).$
3. A função $f$ é tal que $f(a)\cdot f(b) \lt 0,$ $f'(a) \lt 0$, $f'(b)\gt 0$ e $f$ tem um único zero no intervalo $(a,b).$

2. Prove que cada equação abaixo tem solução e exiba um intervalo finito contendo pelo menos uma solução da equação. Analise se é possível garantir a unicidade da solução no intervalo identificado.

1. $4\cos(x) - e^{2x} = 0$
2. $(x+2)^4=e^{-x^2+2}$
3. $1 - x\ln(x) = 0$
4. $\frac{x}{2} = \tan(x)$