Introdução ao Octave - Parte I

GNU Octave (ou Octave, para abreviar) é um ambiente científico que cresce com a contribuição de dezenas ou centenas de pesquisadores em análise numérica ao redor do mundo.

Por interativo quero dizer que você pode encará-lo como uma calculadora avançada, usando seus comandos já prontos um a um. Por expansível, quero dizer que qualquer um pode criar novos programas, usando tudo o que já estiver pronto, e disponibilizá-los dentro do ambiente do Octave, como se fosse um comando nativo, expandindo assim as funcionalidades originais.

Para expandir o Octave, novos programas são implementados usando sua linguagem de programação interna. Essa linguagem é bem simples de ser aprendida e altamente compatível com a linguagem do MATLAB.

Por fim, é muito importante saber que o Octave é um software livre. Isto significa que você pode ver como qualquer parte do Octave foi implementada, pode alterá-lo, reutilizar o código fonte em seus programas e distribuir suas alterações, desde que mantendo o mesmo nı́vel de liberdade que você recebeu, ou seja, usando a licença pública GPL.

Você pode instalar o Octave em seu computador ou usá-lo através do site Octave-Online.

O Octave pode ser usado interativamente, através de sua janela de comandos. Assim que um comando é digitado no prompt (>), ele é imediatamente interpretado e o resultado é exibido logo a seguir . Por exemplo

1/7
ans = 0.14826

O comando format foi usado no vídeo para alterar a exibição dos resultados na tela. Com format long mais dígitos são exibidos, em oposição a format short, que é o comportamento padrão. Note que esse comando não tem influência nas contas, que sempre são feitas com a precisão máxima possível. Para ver um texto explicativo sobre o comando, experimente digitar help format.

Considere o exemplo:

a = 10;
b = 5;
c = a + b;
a = 20;

Ao executar esse bloco de comandos no Octave, três variáveis serão criadas, a, b e c. Logo de início a variável a vale 10. O que significa então a linha a = 20;? Do ponto de vista matemático essa linha não faz sentido, a não pode ser igual a 10 e igual a 20. Mas na sintaxe do Octave, como acontece em muitas outras linguagens, o = não representa uma igualdade, mas sim uma atribuição. No exemplo, a começa valendo 10, até que seu valor é redefinido para 20 na última linha.

Qual o valor de c? 15 ou 25? Como cada comando é executado no momento em que é avaliado, c foi definido quando a valia 10, portanto c vale 15. O que acontecer depois com a não altera o valor de c.

Além de trabalhar com variáveis escalares, muito da força do Octave está em trabalhar com vetores e matrizes. Para defini-los, use colchetes. Dentro dos colchetes, o caractere de ponto-e-vírgula separa as linhas. A separação de colunas é feita por espaços ou, se precisar ser explícito, por vírgulas. Por exemplo:

u = [3 5 6 7]
u =

   3   5   6   7

v = [1; 0; 1; -1]
v =

   1
   0
   1
  -1

s = u * v     # Cálculo do produto interno
s = 2
A = v * u     # Cálculo do produto externo
A =

   3   5   6   7
   0   0   0   0
   3   5   6   7
  -3  -5  -6  -7

Para consultar um elemento de um vetor ou matriz use parênteses para especificar o elemento. Por exemplo, x(2) retorna o segundo elemento do vetor x, A(2,1) é o elemento da segunda linha e primeira coluna da matriz A, e A(2,:) representa toda a segunda linha de A. Atenção: no Octave, todos os índices iniciam em 1.

As operações aritméticas quando aplicadas a matrizes e vetores tem o resultado matemáticos que se espera, ou seja, um produto matriz por vetor, só está definido se as dimensões são compatíveis (como nos exemplos acima). Para realizar uma operação, sem usar a álgebra usual para matrizes e vetores, mas sim aplicando-a aos elementos do vetor, utilize os operadores aritméticos precedidos por um ., como .* ou .^. Exceção se faz ao operador de soma que, naturalmente já é computado elemento por elemento, quando aplicado a matrizes. Veja esses exemplos:

 u = [1 2 3];
 u * u         # Operação que não faz sentido!
error: operator *: nonconformant arguments (op1 is 1x3, op2 is 1x3)
 u .* u        # Operação de produto coordenada a coordenada
ans =

   1   4   9

No vídeo, para exibir gráficos utilizamos duas funções distintas, fplot e plot. A primeira delas recebe como argumento uma função, enquanto que a segunda cria o gráfico a partir de vetores. O Octave tem muitas opções para criar gráficos. Experimente help plot, para começar a descobrir mais.

Ao longo deste curso utilizaremos o Octave diversas vezes. É importante que você se familiarize com ele. Para isso, o principal é ser curioso. Tente e se permita errar. É o melhor jeito de aprender.

Referências

Site oficial do GNU Octave com documentação online ou em PDF.

Para usar o Octave sem precisar instalá-lo, experimente o Octave-Online.

Um livro texto para Cálculo Numérico que utiliza o Octave nos exemplo é:

A. Quarteroni e F. Saleri. Cálculo Científico com MATLAB e Octave. Springer, 2007.

1. Observe as seguintes linhas executadas no Octave.

A = [ 1 2; 3 4];
B = [ 1 1; 2 2];
C = (A + B) - (A .+ B);
D = (A * B) - (A .* B);
E = A .^ B;

Qual o resultado esperado para as matrizes C, D e E? Tente descobrir por si mesmo e depois confira se acertou executando esses comandos no Octave.

2. Construa no Octave uma matriz quadrada de ordem 10, com 2 na diagonal principal e 3 na diagonal superior. Sua solução também funcionaria bem para matrizes de ordem bem maior, por exemplo, de ordem 1000?

3. Faça os gráficos das seguintes funções, nos intervalos prescritos.

1. $f(x) = -3x^3+7x^2-5,$ $0\le x \le 2.$
2. $g(x) = \cos(x) / \sqrt{x^2+1},$ $0\le x\le 20.$
3. $h(x) = e^{3x} - e^{-3x},$ $-1\le x \le 1.$

Você vai precisar das funções cos, sqrt e exp.