O problema de interpolação
O que você já sabe e o que ainda pode descobrir sobre interpolação
Vamos lá?
Dada uma tabela de pontos amostrados, a técnica de interpolação permite obter uma função contínua que passa pelos pontos da tabela. Nesta aula, eu apresento o problema de interpolação e dou alguns exemplos. Você vai perceber que provavelmente você já consegue resolver esse problema, mas que há formas mais simples para fazê-lo.
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Por que o problema não estava bem formulado no início do vídeo?
Qual a motivação para interpolar a função seno?
No exemplo da função seno (abaixo), duas funções interpolantes foram apresentadas. Qual das duas interpolou melhor os dados?
- A. A função preta foi melhor.
- B. A função vermelha foi melhor.
- C. Ambas as funções são igualmente aceitáveis.
Em cada exemplo, como foi escolhido o grau do polinômio interpolador?
O problema de interpolação surge quando queremos encontrar uma função contínua que passe por um conjunto de pontos no plano, amostras de alguma função desconhecida ou complexa o suficiente para valer a pena aproximá-la. A função construída chama-se função interpoladora e serve, por exemplo, para estimar o valor da função amostrada para além dos valores já tabelados.
No vídeo, vimos o exemplo da função seno, que só é conhecida exatamente para alguns valores especiais, os ângulos notáveis
Podemos colocar nosso objetivo da seguinte maneira: encontrar uma função contínua que passe pelos pontos tabelados. Porém, apenas pedir uma função contínua é muito vago (ou mal posto), visto que há infinitas funções que passam por um conjunto finito de pontos prescritos, como podemos ver na figura abaixo.
Duas possíveis funções contínuas que passam sobre os mesmos pontos amostrados da função seno, marcados como pontos vermelhos.
Para tornar o problema bem posto, ou seja com solução única, ao invés de pedir apenas por uma função contínua, interpolamos os pontos amostrados por um polinômio, de grau apropriado.
Com os exemplos apresentados, rapidamente percebemos que o grau do polinômio deve ser ajustado à quantidade de informações fornecidas da função. Se tivermos três condições de interpolação, como no primeiro ou segundo exemplos, basta utilizar um polinômio de grau 2, que tem três coeficientes livres a serem determinados pela imposição dessas condições.
Um polinômio de grau menor que
Nesta aula não explicamos como essas bases especiais foram obtidas. A intenção aqui era apenas que você percebesse que isso é possível. O processo de construção dessas bases será tema de outra aula.
Por fim, fica a mensagem de que a resolução de problemas de interpolação polinomial não requer técnicas especiais, mas pode ser bem simplificada se o polinômio interpolador for representado de forma conveniente. Este será o assunto da próxima aula. Outro ponto a destacar é que a interpolação em si nem sempre é o objetivo final, mas sim um passo ou ingrediente de um método maior, como no segundo exemplo, onde o problema era minimizar uma função.
1. Considere o problema de determinar o polinômio
(a)
(b)
(c)
(d)
2. Encontre o polinômio interpolador de grau 3 que satisfaz as condições