Reta tangente e o método de Newton
Construção geométrica do método de Newton para zero de funções escalares
Vamos lá?
O método de Newton para estimar o zero de uma função diferenciável é um dos métodos mais importante da área de Análise Numérica. Nesta aula, eu mostro como obter o método de Newton a partir de uma construção geométrica.
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Qual seria o problema mais simples a que o vídeo se refere?
Se não é possível computar O que isto significa?
A essência do método de Newton é usar, da melhor forma possível, o valor da derivada da função, além do próprio valor da função .
Na ilustração a seguir, vemos como a função é sucessivamente aproximada por retas. Partindo de uma aproximação inicial
A próxima figura ilustra essa ideia na iteração
Observe que a reta tangente à
Um algoritmo para descrever esse processo de construção da sequência de aproximações
- Seja
uma aproximação razoável para , o zero de - Para
-
desde que
Que tal um exemplo? Considere
f = @(x) x.^2 + 2*x - sin(2*x-1); # função f g = @(x) 2*(x+1) - 2*cos(2*x-1); # derivada de f x = 0; # aproximação inicial f(x) # valor de f no ponto inicial ans = 0.84147 x = x - f(x)/g(x), f(x) # 1ª iteração de Newton e valor de f x = -0.91524 ans = -0.68671 x = x - f(x)/g(x), f(x) # 2ª iteração de Newton e valor de f x = -0.58406 ans = -0.00015520 x = x - f(x)/g(x), f(x) # 3ª iteração de Newton e valor de f x = -0.58398 ans = -0.0000000041128 x = x - f(x)/g(x), f(x) # 4ª iteração de Newton e valor de f x = -0.58398 ans = -2.2204e-16
Nesta aula, não entramos nos detalhes que ficaram em aberto no algoritmo. Por exemplo, o que significa
1. Observe a função do gráfico abaixo.
- Partindo do ponto
indicado, construa geometricamente a sequência gerada pelo método de Newton. Observe para qual dos zeros da função a sequência converge. - Repita o processo partindo do ponto
indicado. - Tente identificar diferentes regiões do eixo
em relação ao comportamento do método de Newton, quando iniciado por um ponto nessas regiões.
2. Partindo de
3. Aplique o método de Newton para cada função abaixo, partindo do ponto inicial indicado. Observe o valor de