Regra do trapézio
Uma regra simples mas muito útil
Vamos lá?
A regra, ou método, mais simples para integração numérica é a regra do trapézio. Nesta aula veremos a dedução dessa regra bem como sua aplicação em um exemplo, usando o Octave.
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Na regra do trapézio exibida no vídeo, o que a quantidade representava?
Qual a diferença entre a quadratura do trapézio (simples) e a quadratura do trapézio composta?
Na fórmula da regra do trapézio composta, por que os valores de nos extremos do intervalo de integração têm peso diferente dos valores de nos pontos internos?
Fórmulas de quadratura, ou regras de integração numérica, é o nome que se dá às aproximações para o cálculo de integrais definidas de uma função
Uma aproximação bem simples para a área abaixo do gráfico de
Da figura observa-se que as "bases" do trapézio medem
A estratégia para melhorar a qualidade da aproximação é dividir o intervalo de integração em diversos subintervalos menores, aproximando a integral em cada um desses subintervalos pela área dos respectivos trapézios.
No exemplo da figura, o intervalo original foi repartido em três subintervalos de tamanhos iguais. Em cada um deles, a área foi aproximada pelo área do trapézio. Observe que o erro da aproximação como um todo melhorou bastante.
A essa estratégia de aplicar repetidamente a regra do trapézio, repartindo o intervalo original em subintervalos, damos o nome de regra do trapézio composta (ou repetida) . De forma geral, é fácil perceber que a aproximação da integral pela regra do trapézio composta é dada por
Há que se destacar que uma grande vantagem da regra do trapézio é que ela pode ser aplicada mesmo que o intervalo de integração não tenha sido particionado em subintervalos de tamanhos regulares. Porém, neste caso, ao invés de aplicar a fórmula
Como apenas os valores da função
Do ponto de vista prático, a regra do trapézio é muito simples de ser utilizada. No Octave, faríamos
f = @(x) 1./x .* exp(x/2); # declaração da função a ser integrada n = 100; # quantidade de subintervalos x = linspace (1,4,n+1); # malha de pontos h = x(2)-x(1) # espaçamento entre pontos consecutivos h = 0.030000 y = f(x); Q = h *(y(1)/2 + sum(y(2:end-1)) + y(end)/2) Q = 4.5001
Para efeito de comparação, podemos estimar o valor da integral usando também a rotina quad
do Octave. Essa rotina, em seu uso mais simples, recebe como entrada a função a ser integradae os limites do intervalo de integração. Como critério de qualidade, a aproximação produzida pela rotina quad
satisfaz quad
.
R = quad(f,1,4); E = abs(R-Q) E = 9.6456e-05
Pelo exemplo apresentado no vídeo, percebemos que ao reduzir o valor de
Referência
Anne Greenbaum e Timothy P. Chartier. Numerical Methods: Design, Analysis, and Computer Implementation of Algorithm. Princeton University Press, 2012.
R. Piessens, E. de Doncker-Kapenga, C.W. Überhuber e D.K. Kahaner. QUADPACK: A Subroutine Package for Automatic Integration. Springer-Verlag, 1983.
1. Utilize a regra do trapézio composta, com uma malha regular, para estimar quad
do Octave fica abaixo de
Dica:
É necessário dividir o intervalo