O que é uma EDO

Relembrando a classificação para equações diferenciais ordinárias

Vamos lá?

O que é uma equação diferencial ordinária? O que é ordem? Será que ela é linear? O que são condições iniciais? Tantas perguntas cabem em uma aula curtinha?

O que é uma equação diferencial ordinária?

A. É uma equação diferencial bem simples.
B. É uma equação diferencial envolvendo apenas derivadas de uma função com respeito a uma única variável.
C. É uma equação diferencial envolvendo apenas derivadas de primeira ordem.

Em uma equação de segunda ordem temos...

A. obrigatoriamente derivadas de primeira e segunda ordem.
B. possivelmente derivadas de segunda ordem.
C. possivelmente derivadas de primeira ordem.
D. obrigatoriamente derivadas de segunda ordem e nenhuma derivada de ordem maior.

A equação diferencial $u''(t) - \sqrt{u(t)} = t^2$ é...

A. uma EDO de primeira ordem, linear.
B. uma EDO de primeira ordem, não linear.
C. uma EDO de segunda ordem, linear.
D. uma EDO de segunda ordem, não linear.

Antes de entrar no assunto de métodos numéricos para equações diferenciais precisamos relembrar algumas características de equações diferenciais que as distinguem. Isso será importante, pois teremos métodos distintos para diferentes tipos de equações diferenciais.

Em primeiro lugar, vamos lembrar que uma equação diferencial é uma equação envolvendo derivadas de uma função incógnita que se quer determinar. Por exemplo:

$y''-2ty' -4t^2y = 0$
$u'u = x^3+x$
$v'-5v= 0$
$s''+s = 0$

Caso as derivadas da função incógnita sejam todas com respeito a uma mesma variável, a equação diferencial é dita ordinária (EDO), em oposição a uma equação diferencial parcial (EDP), que envolve derivadas parciais com respeito a mais de uma variável. Veja alguns exemplos.

EDO:

$\displaystyle{\frac{d^2y}{dt^2} + t^2y = t}$
$\displaystyle{xu'' - u'u = 0}$

EDP:

$\displaystyle{\frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial u}{\partial x}= 0}$
$u_{xx} + u_{yy} = 0$

Determinada se a equação é ordinária ou parcial, outra característica importante é a ordem da equação diferencial. A ordem da uma ED é igual à ordem da derivada mais alta da equação.

Primeira ordem:

$v' = t+1$
$(y')^2 + ty=0$
$u_x + u_y = xy$

Segunda ordem:

$s''+s^2 = 0$
$y'' +\cos(t) y = 0$
$u_{xx} + u_{yy} = 0$

Duas funções que têm a mesma derivada podem diferir por uma constante. Como uma equação diferencial é uma maneira de descrever uma função através de relações com suas derivadas, a solução de uma equação diferencial também depende de constantes livres. A quantidade de constantes livres na solução geral da equação é igual à ordem da equação. Por exemplo:

Equação diferencial:

$y'(t) = 2t$
$u' = u$
$v'' + v = 0$
$y''y + (y')^2 = 1+2t$

Solução geral:

$y(t) = t^2 + c$
$u(t) = ce^t$
$v(t) = \alpha \cos(t) + \beta \sin(t)$
$y(t) = \ln|A + Bt + t^2/2 + t^3/3|$

Para determinar completamente uma função através de uma equação diferencial, condições adicionais que permitam determinar as constantes livres devem ser fornecidas. Essas condições podem ser condições iniciais ou condições de contorno. Condições iniciais são prescritas todas em um mesmo ponto. Por exemplo $$ y'' + y = 0, \quad y(0) = 1, \quad y'(0) = 0. $$ Neste exemplo duas condições, uma sobre o valor de $y$ e outra sobre o valor de $y'$ foram fornecidas, ambas em $t=0.$ Este problema é dito um problema de valor inicial (PVI). Por outro lado, o problema $$ y'' + y = 0, \quad y(0) = 1, \quad y(2) = 1, $$ é dito um problema de valor de contorno (PVC), uma vez que uma condição foi dada em $t=0$ e outra condição em $t=2.$

Por fim, podemos ter equações diferenciais lineares ou não lineares. Equações diferenciais são ditas lineares, quando são somas de termos onde a função incógnita (e suas derivadas) aparecem apenas multiplicadas por constantes ou funções da variável independente. Se não for assim, a equação é não linear.

Equações lineares:

$y' + 12\sqrt{t} y = 3t-1$
$y'' +p(t)y'+q(t) y = r(t)$
$u_x + u_y = xy$

Equações não lineares:

$(y')^2 + ty=0$
$s''s - s' = 0$
$u' = \cos(u)$

Neste curso online iniciaremos tratando um tipo particular de equação diferencial. Os métodos que veremos primeiro são pensados para uma equação diferencial ordinária, de primeira ordem, não importando se é linear ou não, com condição inicial. Esse problema padrão tem a forma \begin{equation} y'(t) = f(t,y), \quad t>t_0, \qquad y(t_0)=y_0. \end{equation}

Para concluir esta aula, apresento o resultado teórico que garante a existência e unicidade da solução para um PVI no formato padrão acima.

Teorema: Para o problema padrão acima, se $f(t,y)$ é contínua em $t_0\le t \le b,$ e se existe uma constante $L$ tal que $$ |f(t,u)-f(t,v)| \le L |u-v|, $$ para todo $t_0\le t \le b$ e todo $u,v$ ($f$ é Lipschitz contínua em $y$), então existe uma única função $y(t)$ continuamente diferenciável, solução do problema padrão.

Este é um resultado clássico que você pode encontrar em livros introdutórios sobre equações diferenciais.

Na próxima aula, antes de ver métodos numéricos para o PVI na forma padrão, quero mostrar como resolver o PVI padrão no Octave.

1. Classifique as equações diferenciais abaixo entre ordinárias/parciais, primeira/segunda ordem, linear/não linear, PVI/PVC. Por fim, identifique quais delas estão no formato padrão.

$u'-xu = 2x^2, \quad u(2) = 5$
$u''-p(t)u = r(t), \quad u(1)=0, u(2)=1$
$y'-y^2=3x, \quad y(1)=-2$
$y' + (t-y)/(t+y)=\sin t, \quad y(-2)=9$
$c^2u_{xx}-u_t=0, \quad u(x,0)=e^{-x^2}$
$v''=ve^{-v}, \quad v(0)=0, v'(0)=4$

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