Reformulando um PVI

$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$

Os métodos numéricos para problema de valor inicial pressupõem que o problema está no formato \begin{equation}\label{standard} y'(t) = f(t,y), \quad t>t_0, \qquad y(t_0)=y_0, \end{equation} onde $y:\R\rightarrow \R^m,$ $f:\R\times\R^m\rightarrow \R^m$ e $y_0\in\R^m.$ Se o PVI não for desta forma é preciso reformulá-lo para que se adeque a este padrão.

Um exemplo de um problema que não se encaixa no formato acima é \begin{equation}\label{exemplo} x'' + p(t)x'+q(t)x = g(t),\qquad x(t_0)=\alpha,\quad x'(t_0)=\beta, \end{equation} para funções escalares $p,$ $q$ e $g$, e valores $\alpha$ e $\beta$ conhecidos. Observe que esta equação diferencial é escalar e de segunda ordem. A estratégia aqui é definir um novo PVI, de primeira ordem vetorial, ou seja, um sistema de equações diferenciais de primeira ordem.

Não existe uma maneira única de fazer isso, mas vou apresentar aqui uma forma que funciona sempre. Um PVI escalar de ordem $m$ será convertido de um sistema com $m$ equações diferenciais de primeira ordem. No caso do exemplo acima, basta definir $$ y(t) = \begin{pmatrix}y_1(t)\\\ y_2(t)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x(t)\\\ x'(t)\end{pmatrix}. $$ Desta forma, $y(t_0) = (\alpha, \beta)$ e $$ y'(t) = \begin{pmatrix}y_1'\\\ y_2'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y_2\\\ g(t) - p(t)y_2-q(t)y_1\end{pmatrix} \equiv f(t,y(t)). $$

De forma geral, considere o PVI escalar de ordem $m,$ $$ u^{(m)} = F(t,u,u',\ldots,u^{(m-1)}), \quad t\gt t_0, $$ com condições iniciais $$ u(t_0) = a_0, \quad u'(t_0)=a_1, \ldots,\quad u^{(m-1)} = a_{m-1}. $$ Para obter um PVI no formato padrão, basta definir $y:\R\rightarrow \R^m,$ $y(t) = (y_1(t),y_2(t),\ldots,y_m(t))^T$ com $$ y_k(t) = u^{(k-1)}(t), \quad k=1,2,\ldots,m. $$ Com isso, imediatamente temos que $$ y_k'(t) = y_{k+1}(t), \quad k=1,2,\ldots,m-1 $$ e $$ y_m'(t) = F(t,y_1,y_2,\ldots,y_{m-1}). $$ Assim, ficamos com o problema $$ y'(t) = \begin{pmatrix} y_2\\\ \vdots \\\ y_m \\\ F(t,y_1,\ldots,y_{m-1}) \end{pmatrix} \equiv f(t,y), $$ com a condição inicial $y(t_0) = a = (a_0,a_1,\ldots,a_{m-1})^T.$

Saber fazer essa reformulação de um PVI é essencial para conseguir utilizar os métodos numéricos que veremos mais a frente ou mesmo os que estão implementados em pacotes computacionais profissonas, como o Octave.

Na próxima aula iniciaremos o estudo dos métodos numéricos propriamente ditos.

1. Reformule os PVI's abaixo para que fiquem no formato padrão.

1. $u'' + 4tu' - 12u = 2t+1,$ $t \gt 1,$ $u(1) = 1,$ $u'(1) =2.$
2. $u'' - \sin(u) = t^2,$ $t\gt 0,$ $u(0) = 2,$ $u'(0) = 0.$

2. Reformule o sistema abaixo para que fique no formato do PVI padrão. $$ \left\{ \begin{array}{cclll} p'' + 3p' + v^2 & = & (t+1)^2, & \qquad & p(0) = 1, & p'(0) = 5 \\ v'' - 4v' + p^2 & = & (6t-1), & & v(0) = -2, & v'(0) = 1 \end{array} \right. $$