Como reformular um PVI para que se encaixe no formato padrão
Vamos lá?
Já vimos que as equações diferenciais ordinárias podem ser lineares ou não-lineares, de diversas ordens, homogêneas ou não. Para evitar construir métodos numéricos para cada tipo de EDO, veremos nesta aula, como reformular um PVI para um formato padrão único.
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Por que precisamos reformular um PVI para o formato padrão?
A. Porque no formato padrão o problema é mais simples.
B. Porque no Octave a rotina para PVI assume que o problema está no formato padrão.
C. Porque por enquanto estamos estudando apenas equações de primeira ordem.
D. Porque os métodos numéricos são descritos em cima deste formato padrão.
Uma equação diferencial escalar e de quarta ordem, pode ser representada por...
A. quatro equações escalares de primeira ordem.
B. um sistema de equações diferenciais de quarta ordem.
Os métodos numéricos para problema de valor inicial pressupõem que o problema está no formato onde e Se o PVI não for desta forma é preciso reformulá-lo para que se adeque a este padrão.
Um exemplo de um problema que não se encaixa no formato acima é para funções escalares e , e valores e conhecidos. Observe que esta equação diferencial é escalar e de segunda ordem. A estratégia aqui é definir um novo PVI, de primeira ordem vetorial, ou seja, um sistema de equações diferenciais de primeira ordem.
Não existe uma maneira única de fazer isso, mas vou apresentar aqui uma forma que funciona sempre. Um PVI escalar de ordem será convertido de um sistema com equações diferenciais de primeira ordem. No caso do exemplo acima, basta definir Desta forma, e
De forma geral, considere o PVI escalar de ordem com condições iniciais Para obter um PVI no formato padrão, basta definir com Com isso, imediatamente temos que e Assim, ficamos com o problema com a condição inicial
Saber fazer esta reformulação de um PVI é essencial para conseguir utilizar os métodos numéricos que veremos mais a frente ou mesmo os que estão implementados em pacotes computacionais profissionas, como o Octave.
Na próxima aula iniciaremos o estudo dos métodos numéricos propriamente ditos.
1. Reformule os PVI's abaixo para que fiquem no formato padrão.
2. Reformule o sistema abaixo para que fique no formato do PVI padrão.