Método da bissecção
Como aproximar a solução de uma equação espremendo-a em um intervalo
Vamos lá?
O método da bissecção é o método mais simples para estimar a solução ou raiz de uma equação não linear escalar. Nesta aula eu apresento o método de forma construtiva e mostro um exemplo.
- 1
- 2
- 3
- 4
Quando o intervalo é repartido em dois subintervalos, podemos dizer que...
Em cada passo do método, quantas vezes a função precisa ser avaliada?
Qual a principal dificuldade para usar o método da bissecção?
No método da bissecção, parte-se de um intervalo inicial
Dessa forma, sucessivamente o intervalo de confinamento do zero da função é contraı́do. A cada iteração a melhor escolha possível para aproximar o zero da função é o ponto médio do intervalo,
A grande dificuldade para a aplicação do método da bissecção é a sua inicialização, que requer a determinação de um intervalo
Uma vez iniciado, o método a bissecção tem convergência assegurada, ou seja,
- Sejam
, tais que , e . -
- Enquanto
e , faça -
- Se
então é a solução. FIM. - Se
, então -
-
-
- Retorne
como melhor aproximação.
A obtenção de uma aproximação com a precisão desejada pode demandar uma grande quantidade de iterações. O problema disso é que, em algumas situações de interesse, a avaliação da função pode ser muito cara. Por isto, o algoritmo acima utiliza também como critério de parada um limite máximo para o número de iterações.
Ainda sobre o algoritmo acima, alguns cuidados podem e devem ser tomados caso ele seja implementado. Por exemplo, quando se pergunta se
Como alternativa, há métodos que utilizam mais informação sobre a função e, portanto, são mais rápidos. Mas isso é assunto para outra aula.
1. Determine um intervalo fechado de comprimento máximo
Construíndo o gráfico da função, rapidamente percebemos que o intervalo
2. Utilizando o método da bissecção e o critério de parada
em em em
3. Seja
O número mínimo de iterações deve ser maior que
4. Como o algoritmo apresentado poderia ser mais bem detalhado para evitar avaliações desnecessárias da função