Método de Taylor

Tanto o método de Euler, quanto os métodos de Taylor, são construídos para aproximar a solução do PVI $$\begin{array}{}\text{(1)}& y^{\prime }(t)=f(t,y),t>t_0,y(t_0)=y_0,\end{array}$$ onde $y:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^m,$ $f:\mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^m$ e $y_0\in {\mathbb{R}}^m.$

O método de Euler foi obtido relacionando-se o valor de $y(t)$ em dois pontos consecutivos da malha, através do polinômio de Taylor de primeira ordem. $$y(t_{n+1})=y(t_n)+h_n{y}^{\prime }(t_n)+\frac{h_n^2}{2!}{y}^{″}(\tau ),$$ onde $\tau$ é algum valor entre $t_n$ e $t_{n+1},$ $h_n\equiv (t_{n+1}-t_n).$ Como $\tau$ não é conhecido, o último termo é desprezado e assim ficamos com a aproximação de primeira que dá origem ao método de Euler. Para construir métodos melhores podemos considerar um polinômio de Taylor de grau maior, o que implica que o erro entre $y(t)$ e o valor prescrito pelo polinômio será menor.

De modo geral, se $y$ é uma função com $(k+1)$ derivadas contínuas, então $$y(t_{n+1})=y(t_n)+h_n{y}^{\prime }(t_n)+\frac{h_n^2}{2!}{y}^{″}(t_n)+\cdots +\frac{h_n^k}{k!}{y}^{(k)}(t_n)+\frac{h_n^{k+1}}{(k+1)!}{y}^{(k+1)}(\tau ).$$ A desprezar o último termo ficamos com uma equação aproximada para $y(t_{n+1})$ em função do valor de $y(t_n)$ e de derivadas de $y$ em $t_n.$ Por exemplo para $k=2$ temos que $$\begin{array}{}\text{(2)}& y(t_{n+1})\approx y(t_n)+h_n{y}^{\prime }(t_n)+\frac{h_n^2}{2!}{y}^{″}(t_n).\end{array}$$ Para computar $y^{\prime }(t_n),$ recorremos à equação diferencial $\text{(1)}$ (como fizemos no método de Euler), ou seja $$\begin{array}{}\text{(3)}& y^{\prime }(t_n)=f(t_n,y(t_n))\approx f(t_n,y_n).\end{array}$$ Para computar $y^{″}(t_n)$ precisamos primeiro obter uma expressão para a derivada segunda. Derivando a equação diferencial $\text{(1)}$, temos $$\begin{array}{rl}{y}^{″}(t)& =\frac{d}{dt}{y}^{\prime }(t)=\frac{d}{dt}f(t,y(t))\\ & =\frac{\partial f}{\partial t}(t,y(t))+\frac{\partial f}{\partial y}(t,y(t))\cdot \frac{dy}{dt}\\ & =f_t(t,y(t))+f_y(t,y(t))f(t,y(t)),\end{array}$$ onde $f_t\equiv \frac{\partial f}{\partial t}$ e $f_y\equiv \frac{\partial f}{\partial y}.$ Desta forma, $y^{″}(t_n)$ é aproximado como $$\begin{array}{}\text{(4)}& y^{″}(t_n)\approx f_t(t_n,y_n)+f_y(t_n,y_n)f(t_n,y_n).\end{array}$$ Ao empregar $\text{(3)}$ e $\text{(4)}$ em $\text{(2)}$ temos a fórmula de iteração do método de Taylor de ordem 2. $$\begin{array}{}\text{(5)}& y_{n+1}=y_n+h_{n}f(t_n,y_n)+\frac{h_n^2}{2}[f_t(t_n,y_n)+f_y(t_n,y_n)f(t_n,y_n)].\end{array}$$

Dada uma equação diferencial no formato $\text{(1)}$, antes de poder aplicar este método é preciso computar as derivadas necessárias da função $f.$

Por exemplo para a EDO $f(t,y)=-2ty,$ $f_t=-2y$ e $f_y=-2t.$ Assim, a iteração do método de Taylor de ordem 2 para essa EDO fica $$y_{n+1}=y_n+h_n(-2t_n{y}_n)+\frac{h_n^2}{2}[2y_n(2t_n^2-1)].$$ Essa EDO com a condição inicial $y(0)=1$ (cuja solução exata é $y(t)=e^{-t^2}$), é resolvida no Octave assim:

f = @(t,y) -2*t*y;          # função que descreve y', a f da EDO
ff = @(t,y) 2*y* (2*t^2-1); # função que descreve y''

N = 11;                     # pontos na malha
t = linspace(0,1,N)';       # malha regular
h = t(2)-t(1);              # passo de discretização

ye = zeros(N,1);            # vetor para as aproximações do método de Euler
ye(1) = 1;                  # condição inicial
yt = zeros(N,1);            # vetor para as aproximações do método de Taylor
yt(1) = 1;                  # condição inicial

# Iteração do método de Euler (para comparação)
for n=1:N-1; ye(n+1) = ye(n) + h*f(t(n),ye(n)); end

# Iteração do método de Taylor de ordem 2
for n=1:N-1; yt(n+1) = yt(n) + h*f(t(n),yt(n)) + h^2/2*ff(t(n),yt(n)); end

Y = @(t) exp(-t.^2);      # solução exata do PVI

norm(Y(t)-ye,inf)         # maior erro absoluto (método de Euler)
ans =  0.034803
norm(Y(t)-yt,inf)         # maior erro absoluto (método de Taylor)
ans = 2.7608e-03

Tudo parece ter funcionado muito bem. Conseguimos um método melhor que o método de Euler. Acrescentando mais um termo em $\text{(2)}$, devemos ficar com um método melhor ainda. De fato, isso acontece. Entretanto, a fórmula de iteração dependerá também de $y^{‴}(t_n).$ É neste ponto que as dificuldades do método de Taylor começam a ficar evidentes. Veja que $$y^{‴}(t)=\frac{d}{dt}{y}^{″}=\frac{d}{dt}[f_t+f_{y}f].$$ Computando as derivadas totais e usando abundantemente a regra do produto, temos que $$y^{‴}(t)=f_{tt}+2f_{ty}f+f_y{f}_t+f_{yy}{f}^2+f_y^{2}f.$$ Ou seja, a medida que queremos métodos mais acurados, mais e mais derivadas de $f$ devem ser computadas e combinadas para montar a fórmula de iteração do método. Rapidamente isso leva a expressões enormes e complicadas que, do ponto de vista prático, são difíceis de usar.

O que precisamos é de métodos acurados, como os métodos de Taylor, mas sem essa enxurrada de derivadas. Essa busca é o que nos leva aos métodos de Runge-Kutta, tema da próxima aula.

1. Para os problemas de valor inicial abaixo, estime $y(1)$ pelo método de Taylor de ordem 2 usando (i) $h=0.1$ e (ii) $h=0.001.$ Compute o erro absoluto nas duas aproximações, usando a solução exata apresentada.

1. $y^{\prime }=t^2-y,$ $y(0)=1.$ [ $y(t)=-e^{-t}+t^2-2t+2$ ]
2. $y^{\prime }=3y+3t,$ $y(0)=1.$ [ $y(t)=\frac{4}{3}{e}^{3t}-t-\frac{1}{3}$ ]

2. Se $y^{\prime }(t)=-2ty,$ monte a fórmula de iteração para o método de Taylor de ordem 3.

3. Se $y^{\prime }=f(t,y(t)),$ quantos termos há não expressão para $y^{⁗}(t),$ em função de $f$ e suas derivadas?