Métodos quase-Newton
Métodos para aproximar zeros de função, mais baratos que o método de Newton
Vamos lá?
Os métodos quase-Newton são tentativas de tornar o método de Newton mais barato, evitando o cálculo da derivada. Só que essa economia também tem seu preço.
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Por que evitar o cálculo da derivada, empregada na iteração do Newton?
O que é um método quase-Newton?
No método das cordas...
A aplicação do método de Newton, além do cálculo da função, depende da avaliação da derivada em cada iterando. Isso pode ser uma complicação em casos onde, a derivada da função não é conhecida explicitamente, ou quando, mesmo conhecida, seu cálculo é caro do ponto de vista computacional.
Uma classe de métodos, conhecidos como métodos quase-Newton, tenta superar essas dificuldades, evitando computar a derivada da função, que é trocada por uma aproximação. Os métodos diferem entre si pela forma como a derivada é aproximada.
Por exemplo, um método muito simples, é o método das cordas, onde a derivada é computada uma única vez, na aproximação inicial, e depois mantida constante durante todas as iterações. Sua iteração é dada por
Uma alternativa melhor nos leva ao método da secante. Neste método, a derivada em
Desta forma, a iteração fica
- Sejam
e duas aproximações iniciais para , zero de . - Para
desde que
Uma implementação cuidadosa do algoritmo acima deve se preocupar em preservar cálculos feitos em uma iteração, que sejam necessários para a iteração seguinte.
Observe que se
Até agora discutimos o problema de resolver uma única equação não linear. Na próxima aula iniciaremos a discussão sobre várias equações não lineares em simultâneo, para poder depois definir métodos para sistemas de equações não lineares.
1. Aplique o método da secante para determinar um zero de
2. Pesquise por outros métodos quase-Newton. Tente aplicar ao problema acima um dos métodos que você tenha descoberto.