Existência e unicidade de solução para PVC

$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$

Um problema de valor de contorno (PVC) é uma equação diferencial com condições adicionais prescritas não todas em um único ponto. Neste curso, vamos lidar apenas com equações diferenciais ordinárias e PVC's de segunda ordem e com condições de contorno prescritas em dois pontos distintos. Desta forma, nosso protótipo de PVC é \begin{equation}\label{edo09:pvc1} y'' = f(x,y,y'), \quad a \lt x \lt b, \end{equation} com as condições \begin{equation}\label{edo09:pvc2} y(a) = \alpha \qquad \mbox{e} \qquad y(b) = \beta. \end{equation} Veja que uma das condições foi dada em $x=a$ e outra foi fornecida em $x=b.$ Condições prescritas sobre o valor da função, como as acima, são ditas condições de Dirichlet . Podemos ter condições também sobre o valor da derivada da função, chamadas condições de Neumann ou mesmo condições mistas.

Um exemplo de um PVC deste tipo é \begin{equation}\label{edo09:ex1} y'' = \sin(y') + 4x^2y + {1\over x^2}, \quad 1\lt x\lt2, \end{equation} com a condições \begin{equation}\label{edo09:ex2} y(1) = 2 \qquad \mbox{e} \qquad y(2) = 3. \end{equation}

Como não parece ser simples resolver analiticamente o PVC acima, surge o apelo por tentar resolvê-lo numericamente. Mas será que ele tem solução? Se tiver, será que é única? Sem saber isto, podemos interpretar errado o resultado de um método numérico ou mesmo não entender uma possível falha.

O estudo da existência e unicidade de solução de PVC's como os descritos acima é feito com bastante rigor e cuidado em Keller (1992).

Teorema 1: Para o PVC \eqref{edo09:pvc1}—\eqref{edo09:pvc2}, suponha que $f:\R\times\R\times\R\to\R$, $(x,u,v)\mapsto f(x,u,v)$ seja contínua, que tenha derivadas em $a\lt x\lt b$ e $u^2+v^2\lt \infty$ e que exista constante $M$ tal que $$ {\partial f\over \partial u} \gt 0\quad \mbox{e} \quad \left|{\partial f\over \partial v}\right| \le M. $$ Então o PVC tem solução única.

Para o exemplo anterior, $f(x,u,v) = \sin(v)+4x^2u+x^{-2}.$ Esta função é contínua, para $1\lt x\lt 2$ e para $u$ e $v$ finitos. Além disso, $$ {\partial f\over \partial u} = 4x^2 > 0 \quad \mbox{e} \quad \left|{\partial f\over \partial v}\right| = |\cos(v)| \le 1. $$ Logo, o Teorema 1 garante a existência e unicidade de solução para o PVC \eqref{edo09:ex1}—\eqref{edo09:ex2}.

O caso particular de equações diferenciais lineares é muito importante e merece atenção. Para $f(x,u,v) = p(x)v+q(x)u-r(x),$ temos o seguinte resultado, corolário do teorema anterior.

Corolário: Sejam $p$, $q$ e $r$ contínuas em $[a,b]$. Se $q(x)\gt 0$, para $a\le x\le b$, então o PVC $$ y'' = p(x)y'+q(x)y-r(x), \quad a \lt x \lt b, $$ com as condições $$y(a) = \alpha \qquad \mbox{e} \qquad y(b) = \beta,$$ tem solução única, para cada $\alpha$ e $\beta$.

Observe que tanto o Teorema 1, quanto seu corolário, fornecem condições suficientes para a existência e unicidade de solução. Nada é dito quando as hipóteses desses resultados não se verificam.

Para além do teorema anterior, ainda no caso de um PVC linear, há também um resultado, que apresenta uma equivalência entre a unicidade de solução para os PVC's homogêneo e não homogêneo.

Teorema 2: Sejam $p$, $q$ e $r$, funções contínuas em $[a,b]$. Então, para cada $\alpha$ e $\beta$, o PVC $$ y''= p(x)y'+q(x)y-r(x), \quad a \lt x \lt b, \qquad y(a)=\alpha, \quad y(b)=\beta, $$ tem solução única se e somente se o PVC homogêneo $$ y''= p(x)y'+q(x)y, \quad a \lt x \lt b, \qquad y(a)= y(b)=0, $$ tem apenas solução trivial.

Como exemplo, considere a equação diferencial ordinária que descreve um sistema massa—mola, dada por $$ my''(t)+cy'(t)+ky(t) = F(t), $$ onde $m$ representa a massa de um corpo, $c$ a constante de amortecimento, $k$ a constante da mola e $F$ é uma força externa. Como $(k/m) \gt 0$, esta equação não satisfaz as hipóteses do Corolário. Entretanto, sua solução geral no caso homogêneo (quando $F(t)=0$) pode ser encontrada utilizando métodos analíticos simples. Caso a solução seja única, quando as condições de contorno homogêneas ($y(a) = y(b) = 0$) forem impostas, o Teorema 2 garantirá a unicidade também da solução para o problema não homogêneo, mais complicado.

Referências

Hebert B. Keller. Numerical Methods for Two-Point Boundary-Value Problems. Dover, 1992.

1. Considere o PVC $$y''+x^3y'-{1\over x^2+1}y=1+x, \quad 0\lt x\lt 2, \quad y(0)=0, \quad y(2) = -1.$$

1. Identifique a função $f$, tal que o a equação diferencial se escreva como $y''=f(x,y,y').$
2. É possível garantir a existência e unicidade de solução para este PVC?

2. Considere o PVC $$ y''+4y=0, \quad 0\lt y\lt b, \quad y(0)=0, \quad y(b)=0, $$ onde $b>0.$

1. Este PVC linear satisfaz as hipóteses do corolário que garante a existência e unicidade de solução?
2. Verifique que a solução geral da equação diferencial é $y(x) = \alpha \cos(2x) + \beta \sin(2x),$ para $\alpha$ e $\beta$ constantes arbitrárias.
3. Se $b=1,$ mostre que o PVC tem solução única.
4. Se $b=\pi,$ mostre que o PVC tem infinitas soluções.

3. Tente demonstrar o corolário visto.