Por que integrar numericamente?

O teorema fundamental do Cálculo diz que se $F'(x) = f(x)$ então $$ \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a). $$ A função $F$ é dita uma primitiva de $f.$ Sendo assim, do ponto de vista teórico, computar a integral acima se resolve determinando uma primitiva de $f.$ Mas e do ponto de vista prático?

Considere o problema de estimar uma integral definida e própria, ou seja, sobre um intervalo $[a,b],$ de uma função real contínua $f,$ $$ I = \int_a^b f(x)dx. $$ Em outras palavras, queremos computar a área compreendida entre o gráfico de $f$ e o eixo das ordenadas, no intervalo $[a, b].$

Vários são os motivos para computar integrais numericamente. Pode não se saber computar a integral analiticamente ou porque o integrando é muito complicado ou porque não haja primitiva para o integrando. Por exemplo, a função $e^{-t^2}$ não tem primitiva analítica. Isto significa que, do ponto de vista prático, a área abaixo de função $e^{-t^2}$ só pode ser estimada numericamente.

Pode ocorrer o caso de haver expressão para integral, mas a avaliação dessa expressão é tão complicada (ou cara) que torna-se mais eficiente computar a integral numericamente. Veja este exemplo, $$ \int {1\over x}\mbox{arcsinh} x\, dx = x - {1\over 2\cdot 3 \cdot 3} x^3+ {1 \cdot 3 \over 2\cdot 4 \cdot 5 \cdot 5} x^5 - \cdots \qquad (\mbox{se } |x|\lt 1). $$ Neste exemplo vemos uma primitiva representada como uma série de potências. Para computar a área abaixo da função ${1\over x}\mbox{arcsinh} x$ em um intervalo finito seria necessário computar a série acima nos extremos do intervalo, o que, inevitavelmente levaria a um processo numérico. Neste caso, é muito mais simples e imediato aplicar um método de integração numérica.

Pode ocorrer ainda do integrando ser conhecido em apenas alguns pontos, ou seja, apenas amostras da função $f$ estarem disponíveis. Neste caso, não há outra alternativa a não ser o compto numérico da integral.

Nas próximas aulas veremos alguns métodos bem simples e eficazes para o cálculo numérico de integrais definidas.

1. Revise o teorema fundamental do Cálculo.

2. Pesquise sobre a função $e^{-x^2}$ e por que ela não tem primitiva.

3. Tente estimar $$ \int_0^{0.5} {1\over x}\mbox{arcsinh} x\, dx. $$ Você encontra a expansão em série de potências para a integral acima em Jeffrey e Dai (2008), por exemplo.

Alan Jeffrey e Hui Hui Dai, Handbook of Mathematical Formulas and Integrals. Elsevier Science, 4ª ed., 2008.