Polinômios de Lagrange
Uma base sob medida para interpolação
Vamos lá?
O problema de interpolação pode dar trabalho ou ser resolvido facilmente. Tudo depende de você conhecer os polinômios de Lagrange.
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Suponha que o polinômio interpolador é escrito como O que podemos afirmar sobre a matriz do sistema linear derivado do problema de interpolação?
O que influencia a forma da matriz do sistema linear de interpolação?
Suponha que o polinômio interpolador é escrito como O que pode ser dito sobre as funções ?
Na primeira aula sobre interpolação, vimos exemplos com condições de interpolação sobre o valor de função e/ou sobre o valor de derivada primeira. Outras condições também podem ser impostas, como por exemplo, sobre derivadas de ordem superior, ou condições de suavidade.
Para a discussão analı́tica que se segue, concentraremo-nos em resolver o problema clássico interpolação polinomial, ou o problema de interpolação de Lagrange , no qual um conjunto
Denote por
Saber se o problema de interpolação admite solução, passa a ser uma questão de analisar se o sistema linear obtido admite solução. Da mesma forma, a unicidade pode ser estudada através da unicidade de solução para o sistema linear. Entretanto, vamos reformular o problema e abordar estas duas questões de uma forma mais simples e construtiva.
Ao invés de considerar a base canônica, podemos considerar outra base para
Lagrange escolheu os polinômios
Como cada polinômio de
O conjunto formado pelos
Na aula seguinte, veremos como fica a resolução do problema de interpolação, usando a base dos polinômios de Lagrange para representar o polinômio interpolador.
1. Construa explicitamente os 4 polinômios de Lagrange associados aos pontos
2. Mostre que os polinômios de Lagrange associados aos pontos
3. Suponha uma base
- Qual condição deve ser imposta sobre
? - Qual o grau de cada polinômio
? - No caso de
para faça o gráfico desses polinômios. - Esses polinômios
tem alguma relação com os polinômios de Lagrange?