Polinômios de Lagrange

Na primeira aula sobre interpolação, vimos exemplos com condições de interpolação sobre o valor de função e/ou sobre o valor de derivada primeira. Outras condições também podem ser impostas, como por exemplo, sobre derivadas de ordem superior, ou condições de suavidade.

Para a discussão analı́tica que se segue, concentraremo-nos em resolver o problema clássico interpolação polinomial, ou o problema de interpolação de Lagrange , no qual um conjunto $\Omega = \{(x_k,y_k) | x_0 < x_1 < \cdots < x_n\}$ é conhecido e o objetivo será encontrar um polinômio de grau mı́nimo que passe por sobre estes pontos. Nestas condições, se $(n+1)$ for a quantidade de pontos de interpolação, veremos que sempre é possível encontrar um polinômio interpolador de grau menor ou igual a $n.$

Denote por ${\cal P}_n$ o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a $n.$ Quando escrevemos o polinômio interpolador como combinação linear da base canônica para ${\cal P}_n,$ $\{1,x,x^2,\ldots, x^n\},$ o problema de interpolação recai na resolução de um sistema linear, cuja matriz de coeficientes é conhecida como matriz de Vandermonde . Isto é, as condições de interpolação $$ p(x_k) = a_0+a_1x_k+a_2 x_k^2 + \ldots +a_nx_k^n = y_k, \qquad k=0,1,\ldots,n, $$ são escritas na forma de um sistema linear como $$ \left( \begin{array}{ccccc} 1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^n \\ 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} a_0 \\\ a_1 \\\ \vdots \\\ a_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} y_0 \\\ y_1 \\\ \vdots \\\ y_n \end{array}\right). $$

Saber se o problema de interpolação admite solução, passa a ser uma questão de analisar se o sistema linear obtido admite solução. Da mesma forma, a unicidade pode ser estudada através da unicidade de solução para o sistema linear. Entretanto, vamos reformular o problema e abordar estas duas questões de uma forma mais simples e construtiva.

Ao invés de considerar a base canônica, podemos considerar outra base para ${\cal P}_n,$ digamos $\{\ell_0(x),\ell_1(x),\ldots,\ell_n(x)\},$ de tal sorte que o sistema linear fique mais simples de ser resolvido. Nesta nova base, o sistema linear de interpolação fica $$ \left(\begin{array}{ccccc} \ell_0(x_0) & \ell_1(x_0) & \ell_2(x_0) & \cdots & \ell_n(x_0) \\ \ell_0(x_1) & \ell_1(x_1) & \ell_2(x_1) & \cdots & \ell_n(x_1) \\ \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\ \ell_0(x_n) & \ell_1(x_n) & \ell_2(x_n) & \cdots & \ell_n(x_n) \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} a_0 \\\ a_1 \\\ \vdots \\\ a_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} y_0 \\\ y_1 \\\ \vdots \\\ y_n \end{array} \right). $$

Lagrange escolheu os polinômios $\ell_j$ de maneira que o sistema linear fosse resolvido trivialmente, ou seja, de forma que a matriz do sistema se torna-se a matriz identidade. Para tanto, cada polinômio $\ell_j$ deve satisfazer a propriedade \begin{equation}\label{eq1} \ell_j(x_i) = \left\{\begin{array}{ll}1,\quad & i=j,\\ 0, & i\neq j. \end{array}\right. \end{equation}

Como cada polinômio de ${\cal P}_n$ pode ter no máximo $n$ zeros, e como a condição \eqref{eq1} explicitamente impõe $n$ zeros para $\ell_j,$ temos que $\ell_j(x)$ se escreve obrigatoriamente como $$\ell_j(x) = C(x-x_0)\cdots(x-x_{j-1})(x-x_{j+1})\cdots(x-x_n).$$ A constante $C$ deve ser escolhida para que $\ell_j(x_j)=1.$ Sendo assim, \begin{equation} \ell_j (x) = {(x-x_0)\cdots(x-x_{j-1})(x-x_{j+1})\cdots(x-x_n) \over (x_j-x_0)\cdots(x_j-x_{j-1})(x_j-x_{j+1})\cdots(x_j-x_n)}. \end{equation} Veja que aqui é importante a hipótese inicial que $x_i \neq x_j,$ sempre que $i\neq j.$ Observe também que cada polinômio $\ell_j$ é de fato um polinômio de grau exatamente $n.$

O conjunto formado pelos $(n+1)$ polinômio de Lagrange constitui de fato uma base para ${\cal P}_n,$ uma vez que são linearmente independentes (por quê?) e a dimensão de ${\cal P}_n$ é $(n+1).$

Na aula seguinte, veremos como fica a resolução do problema de interpolação, usando a base dos polinômios de Lagrange para representar o polinômio interpolador.

1. Construa explicitamente os 4 polinômios de Lagrange associados aos pontos $\{-2, -1, 1, 2\}.$ Qual o grau desses polinômios? Faça um gráfico exibindo-os.

2. Mostre que os polinômios de Lagrange associados aos pontos $x_0 \lt x_1 \lt \ldots \lt x_n$ são linearmente independentes, ou seja, mostre que se $p(x) = c_0\ell_0(x) + \cdots c_n\ell_n(x) = 0,$ para todo $x$, então obrigatoriamente $c_0=\cdots=c_n = 0.$

3. Suponha uma base $\beta = \{q_0,q_1,\ldots,q_n\}$ para ${\cal P}_n,$ de tal forma que a matriz do sistema linear do problema de interpolação nos nós $\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ fique triangular inferior.

1. Qual condição deve ser imposta sobre $q_j(x_i)$?
2. Qual o grau de cada polinômio $q_j,$ $j=0,1,\ldots, n$?
3. No caso de $x_j = j,$ para $j=0,1,\ldots,4,$ faça o gráfico desses polinômios.
4. Esses polinômios $q_j$ tem alguma relação com os polinômios de Lagrange?