Erro de interpolação
Será que o polinômio interpolador é uma boa aproximação?
Vamos lá?
Já vimos que construir o polinômio interpolador não é tão difícil assim. Resta saber qual a qualidade dessa interpolação.
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Por que não faz sentido perguntar qual o erro de interpolação quando só temos ponto tabelados?
Na aula passada vimos dois exemplos de problemas de interpolação. No primeiro interpolamos a função raiz quadrada e no segundo exemplo interpolamos a função seno. Será que os polinômios interpoladores podem ser considerados boas aproximações para essas funções? Para responder essa pergunta temos o seguinte teorema, que quantifica o erro.
Teorema: Seja
Este teorema apresenta uma expressão para o erro de interpolação, entretanto o detalhe é que, apesar da existência de
Isso já era esperado, pois se
Mesmo que o erro de interpolação não possa ser computado explicitamente, ainda podemos usar o teorema para conseguir majorantes para o erro. Por exemplo, considere a interpolação da função raiz quadrada, nas abscissas
Se
Os pontos críticos de
A pergunta que nos resta responder é: Se após resolvermos o problema de interpolação o erro ficar acima do aceitável, o que podemos fazer para melhorar a qualidade da interpolação? Este assunto fica para uma outra aula. Mas antes disso, na aula seguinte faço a demonstração do teorema acima. Essa aula pode ser ignorada, se você não tem interesse nos detalhes técnicos que levam a esse teorema. Porém, não precisa ter receio. A demonstração é simples e elegante.
1. Com que grau de precisão podemos aproximar
2. Com que grau de precisão podemos aproximar