Em Matemática, norma é uma função que representa o tamanho de um objeto. Nesta aula vamos ver algumas formas de medir vetores e matrizes e propriedades úteis.
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A norma de um vetor é...
A. uma medida de tamanho do vetor.
B. o comprimento do vetor.
C. a dimensão do vetor.
A norma de uma matriz...
A. é construída com as normas de suas colunas.
B. pode ser construída usando as normas de suas colunas.
C. é o vetor das normas de suas colunas.
Norma é tradução matemática do conceito de tamanho. Formalmente, uma norma, representada pelo símbolo é uma função, definida em espaços vetoriais, que associa a cada elemento do espaço um número real não nulo1 e quem tem algumas propriedades que tentam capturar a essência da noção intuitiva de tamanho. Formalmente, temos a definição a seguir.
Definição: Seja um espaço vetorial. Uma função é dita uma norma se, para quaisquer e tivermos que
,
,
,
(desigualdade triangular).
Normas vetoriais
No espaço dos vetores de dimensão , o a norma Euclidiana é a norma usual. Se então Como esta norma é computada pela soma de quadrados, ela também é conhecida como norma 2.
Outra função que satisfaz todos os requisitos da definição acima é a norma 1, dada por Você pode tentar verificar que, de fato, a norma 1 satifaz todas as propriedades exigidas de uma norma.
Você verá no decorrer deste curso de Cálculo Numérico que a norma infinito é muito utilizada, por ser barata computacionalmente. Esta norma é definida como
Uma propriedade importante do é que todas as normas são equivalentes. Isto significa que as relações observadas entre vetores em uma determinada norma também são observadas em quaisquer outra norma. Por exemplo, se e então também é verdade que
Normas matriciais
Para o espaço das matrizes reais também é possível construir diversas funções norma. As normas induzidas são normas matriciais construídas a partir de normas vetoriais. Se é uma matriz, sua norma induzida pela norma vetorial é definida como A notação acima pode gerar confusão, uma vez que estamos usando o mesmo símbolo para representar as normas vetorial e matricial. Para não se confudir é preciso sempre observar o argumento da norma, ou seja, se estiver aplicada a um vetor, então é a norma vetorial, se estiver aplicada a uma matriz, então é a norma matricial induzida.
Cuidado com a definição de norma induzida em . Na prática, a normal matricial não é computada buscando-se descobrir o vetor que maximiza o quociente, mas tentando determinar, para cada escolha da norma vetorial, uma expressão equivalente à , que seja de fácil compto. Em alguns casos particulares isto é possível, mas não em geral.
No caso da norma 1, é possível demonstrar que onde é a -ésima coluna da matriz Ou seja, a norma 1 da matriz é a maior norma 1 de suas colunas.
A norma infinito matricial também tem uma expressão simples, dada por onde é a -ésima linha da matriz Ou seja, a norma infinito da matriz é a maior norma 1 de suas linhas.
Propriedades de normas induzidas
Se e então Logo Este mesmo resultado também vale para o vetor nulo. Usando esta propriedade, pode-se demonstrar que e
Referências
Gilbert Strang. Álgebra Linear e suas Aplicações. Cengage Learning, 2010.
David S. Watkins. Fundamentals of Matrix Computations. John Wiley & Sons, 2ª ed., 2002.
1. Na definição apresentada no texto, há 4 propriedades que a função norma deve respeitar. Tente interpretar o sentido dessas propriedades lembrando que a função norma é a representação matemática para o conceito de tamanho.
2. Para , mostre que
3. Esboce no plano os conjuntos para
4. Sejam e
Calcule e .
Entre e qual das duas tem a menor norma 1?
Se , mostre que Você não precisa calcular a matriz
Calculando do item anterior, calcule o valor exato de