Normas para vetores e matrizes

$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\ds}{\displaystyle}$

Norma é tradução matemática do conceito de tamanho. Formalmente, uma norma, representada pelo símbolo $\|\cdot \|,$ é uma função, definida em espaços vetoriais, que associa a cada elemento do espaço um número real não nulo1 e quem tem algumas propriedades que tentam capturar a essência da noção intuitiva de tamanho. Formalmente, temos a definição a seguir.

Normas vetoriais

No espaço dos vetores de dimensão $n$, o $\R^n,$ a norma Euclidiana é a norma usual. Se $x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\R^n,$ então $$ \|x\|_2 = \sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}. $$ Como esta norma é computada pela soma de quadrados, ela também é conhecida como norma 2.

Outra função que satisfaz todos os requisitos da definição acima é a norma 1, dada por $$ \|x\|_1 = |x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|. $$ Você pode tentar verificar que, de fato, a norma 1 satifaz todas as propriedades exigidas de uma norma.

Você verá no decorrer deste curso de Cálculo Numérico que a norma infinito é muito utilizada, por ser barata computacionalmente. Esta norma é definida como $$ \|x\|_\infty = \max \{|x_1|,|x_2|,\ldots,|x_n|\}. $$

Uma propriedade importante do $\R^n$ é que todas as normas são equivalentes. Isto significa que as relações observadas entre vetores em uma determinada norma também são observadas em quaisquer outra norma. Por exemplo, se $x,y\in\R^n$ e $\|x\|_2 \le \|y\|_2,$ então também é verdade que $\|x\|_\infty \le \|y\|_\infty.$

Normas matriciais

Para o espaço das matrizes reais $m\times n,$ também é possível construir diversas funções norma. As normas induzidas são normas matriciais construídas a partir de normas vetoriais. Se $A\in\R^{m\times n}$ é uma matriz, sua norma induzida pela norma vetorial $\|\cdot\|$ é definida como \begin{equation}\label{norma:induzida} \|A\| = \max_{x\neq 0} {\|Ax\|\over \|x\|}. \end{equation} A notação acima pode gerar confusão, uma vez que estamos usando o mesmo símbolo para representar as normas vetorial e matricial. Para não se confudir é preciso sempre observar o argumento da norma, ou seja, se estiver aplicada a um vetor, então é a norma vetorial, se estiver aplicada a uma matriz, então é a norma matricial induzida.

Cuidado com a definição de norma induzida em $\eqref{norma:induzida}$. Na prática, a normal matricial não é computada buscando-se descobrir o vetor $x$ que maximiza o quociente, mas tentando determinar, para cada escolha da norma vetorial, uma expressão equivalente à $\eqref{norma:induzida}$, que seja de fácil compto. Em alguns casos particulares isto é possível, mas não em geral.

No caso da norma 1, é possível demonstrar que $$\|A\|_1 = \max_{x\neq 0} {\|Ax\|_1\over \|x\|_1} = \max\{\|a_1\|_1,\ldots,\|a_n\|_1\},$$ onde $a_j$ é a $j$-ésima coluna da matriz $A.$ Ou seja, a norma 1 da matriz é a maior norma 1 de suas colunas.

A norma infinito matricial também tem uma expressão simples, dada por $$\|A\|_\infty = \max_{x\neq 0} {\|Ax\|_\infty\over \|x\|_\infty} = \max\{\|a^1\|_1,\ldots,\|a^n\|_1\},$$ onde $a^j$ é a $j$-ésima linha da matriz $A.$ Ou seja, a norma infinito da matriz é a maior norma 1 de suas linhas.

Propriedades de normas induzidas

Se $0\neq u\in\R^n$ e $A,B\in\R^{n\times n},$ então $$ {\|Au\|\over \|u\|} \le \max_{x\neq 0} {\|Ax\|\over \|x\|} = \|A\|.$$ Logo $\|Au\|\le \|A\| \|u\|.$ Este mesmo resultado também vale para o vetor nulo. Usando esta propriedade, pode-se demonstrar que $$ \|AB\| \le \|A\|\,\|B\| $$ e $$ \|A^k\| \le \|A\|^k. $$

Referências

Gilbert Strang. Álgebra Linear e suas Aplicações. Cengage Learning, 2010.

David S. Watkins. Fundamentals of Matrix Computations. John Wiley & Sons, 2ª ed., 2002.

1. Na definição apresentada no texto, há 4 propriedades que a função norma deve respeitar. Tente interpretar o sentido dessas propriedades lembrando que a função norma é a representação matemática para o conceito de tamanho.

2. Para $x\in\R^n$, mostre que $$ \|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \|x\|_1. $$

3. Esboce no plano os conjuntos $B_p=\{x\in\R^2\,|\,\|x\|_p\le 1\},$ para $p=1,2,\infty.$

4. Sejam $\ds{A = \left[\begin{array}{rr} 1& 4 \\ -2 & 5\end{array}\right]}$ e $\ds{B=\left[\begin{array}{rr} 1 & 2\\ 4 & 1\end{array}\right].}$

1. Calcule $\|A\|_1$ e $\|A\|_\infty$.
2. Entre $A$ e $B,$ qual das duas tem a menor norma 1?
3. Se $C=5A+AB+B^2$, mostre que $\|C\|_\infty \lt 100.$
   Você não precisa calcular a matriz $C.$
4. Calculando $C$ do item anterior, calcule o valor exato de $\|C\|_\infty.$

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