Polinômios de Lagrange em exemplos

Na aula passada, motivados pelo problema de interpolação no nós $x_0<x_1<\cdots <x_n,$ construímos a base $\{{\ell }_0,{\ell }_1,\dots ,{\ell }_n\}$ para o espaço do polinômios de grau menor ou igual a $n,$ denotado por ${\mathcal{P}}_n.$ Essa base, conhecida como base dos polinômios de Lagrange, foi construída a partir dos nós de interpolação, para ter a propriedade muito especial de que $$\begin{array}{}\text{(1)}& {\ell }_j(x_j)=1,\text{e}{\ell }_j(x_i)=0,i\ne j.\end{array}$$ Deduzimos ainda a expressão explícita para cada polinômio ${\ell }_j$ como $$\begin{array}{}\text{(2)}& {\ell }_j(x)=\frac{(x-x_0)\cdots (x-x_{j-1})(x-x_{j+1})\cdots (x-x_n)}{(x_j-x_0)\cdots (x_j-x_{j-1})(x_j-x_{j+1})\cdots (x_j-x_n)}.\end{array}$$

Considere agora o problema interpolação polinomial, isto é, o problema de determinar um polinômio $p$ em ${\mathcal{P}}_n,$ tal que $$\begin{array}{}\text{(3)}& p(x_j)=y_j,j=0,1,\dots ,n.\end{array}$$ Se $p$ é escrito em termos da base dos polinômios de Lagrange, então $p(x_j)$ resulta em $$\begin{array}{rl}p(x_j)& =a_0{\ell }_0(x_j)+a_1{\ell }_1(x_j)+\cdots +a_n{\ell }_n(x_j)\\ & =a_j{\ell }_j(x_j)\\ & =a_j.\end{array}$$ Portanto, a condição de interpolação $\text{(3)}$ imediatamente implica que $a_j=y_j$ e assim o polinômio interpolador é dado por $$\begin{array}{}\text{(4)}& p(x)=y_0{\ell }_0(x)+y_1{\ell }_1(x)+\cdots +y_n{\ell }_n(x).\end{array}$$

No primeiro exemplo do vídeo, a intenção foi construir o polinômio que interpola a função $f(x)=\sqrt{x},$ nos pontos $$\begin{array}{cccc}{x}_j& 1& 2& 4\\ y_j& 1& \sqrt{2}& 2\end{array}$$ Para a interpolação em três pontos, o polinômio interpolador será de grau 2. Para expressá-lo na base dos polinômio de Lagrange basta usar $\text{(2)}$ e $\text{(4)}$. Com efeito, $$\begin{array}{rl}\text{associado a }{x}_0=1,& {\ell }_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}=\frac{(x-2)(x-4)}{(1-2)(1-4)}\\ \text{associado a }{x}_1=2,& {\ell }_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}=\frac{(x-1)(x-4)}{(2-1)(2-4)}\\ \text{associado a }{x}_2=4,& {\ell }_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}=\frac{(x-1)(x-2)}{(4-1)(4-2)}\end{array}$$ e, com isso, o polinômio interpolador é $$p(x)=1\frac{(x-2)(x-4)}{(1-2)(1-4)}+\sqrt{2}\frac{(x-1)(x-4)}{(2-1)(2-4)}+2\frac{(x-1)(x-2)}{(4-1)(4-2)}.$$ Esse polinômio pode ser utilizado como uma aproximação para $f,$ dentro do intervalo $[1,4].$

No segundo exemplo, a intenção foi aproximar o valor da função seno em $x=1,$ conhecendo apenas os valores de seno em alguns ângulos notáveis. $$\begin{array}{rcccc}{x}_j& 0& \pi /4& \pi /3& \pi /2\\ \sin (x_j)=y_j& 0& \sqrt{2}/2& \sqrt{3}/2& 1\end{array}$$ Como só queríamos utilizar um polinômio de grau 2, primeiro é necessário escolher dos 4 pontos disponíveis, quais 3 pontos utilizar. Para reduzir o erro de interpolação, devemos sempre escolher os pontos mais próximos ao ponto onde se pretende avaliar o polinômio (a justificativa para essa escolha será tema de outra aula). Neste caso, os nós de interpolação mais próximos de $1$ são, $\pi /4,$ $\pi /3$ e $\pi /2.$ Desta forma, o polinômio interpolador é $$\begin{array}{}\text{(5)}& p(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{(x-\frac{\pi }{3})(x-\frac{\pi }{2})}{(\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{3})(\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{2})}+\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{(x-\frac{\pi }{4})(x-\frac{\pi }{2})}{(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4})(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{2})}+1\frac{(x-\frac{\pi }{4})(x-\frac{\pi }{3})}{(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4})(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3})}.\end{array}$$ Para obter a aproximação para $\sin (1),$ é preciso avaliar o $p$ em $x=1.$ Ao olhar para expressão acima, já dá até um certo desânimo em pensar em substituir $x=1$ e realizar todas as operações, não? Realmente são muitas operações aritméticas.

No caso de um polinômio de grau $n,$ ao observar a expressão $\text{(2)}$ é fácil concluir que avaliar ${\ell }_j(x)$ consome $2n$ subtrações e $2n-2$ produtos, além de uma divisão, totalizando $4n-1$ operações. Portanto, avaliar o polinômio $p,$ dado por $\text{(4)}$, consome $4n^2+n$ operações aritméticas. Um polinômio de grau $n,$ escrito em termos da base canônica, consumiria apenas $\mathcal{O}(n)$ operações para ser avaliado.

Outra complicação prática de usar a base de Lagrange é que a cadeia de produtos necessária para computar ${\ell }_j(x)$ pode levar a problemas de overflow (obter um número maior que o maior número representável pelo sistema de ponto flutuante) ou underflow (obter um número menor que o menor número representável pelo sistema de ponto flutuante). Por exemplo se $x\approx x_n,$ os primeiros termos $(x-x_0),$ $(x-x_1)$, ..., podem gerar número muito grandes. É verdade que os termos do final, $(x-x_{n-1}),$ $(x-x_n)$ seriam bem pequenos. Mas se o produto acumulado do início já ultrapassar o máximo representável, o overflow não poderá ser recuperado pelos produtos seguintes.

Essa duas aparentes dificuldades não são inerentes aos polinômios de Lagrange, mas sim a um uso ingênuo deles. Observe novamente o polinômio $\text{(5)}$. É claro que ao computar $p(1)$ várias operações podem ser economizadas, observando que há muitos termos comuns. Uma implementação cuidadosa para o cálculo do polinômio interpolador $\text{(4)}$ conhecida como forma baricêntrica evita todos esses problemas.

No vídeo vimos que nos dois exemplos apresentados o polinômio interpolador pareceu ser uma boa aproximação para a função. Mas o quão boa? E se a aproximação não for razoável, como seria possível melhorá-la? Este assunto é interessante e merece outra aula.

1. Considere a função $f(x)=e^x.$

1. Encontre o polinômio interpolador $p$ para $f$ em $0,$ $\frac{1}{2}$ e $1.$
2. Faça o gráfico de $f$ e de $p,$ no intervalo $[-1,2].$ Você acha seguro utilizar o polinômio interpolador para prever o comportamento da função fora do intervalo de interpolação (extrapolação)? Se ficar na dúvida, faça alguns experimentos para poder formar uma opinião.
3. Aparentemente, em qual ponto do intervalo $[0,1]$ a aproximação de $f$ pelo polinômio interpolador foi pior?

2. Encontre o ponto de intersecção das duas funções tabeladas, utilizando interpolação quadrática. $$\begin{array}{crccccc}x& 0.000& 0.600& 1.200& 1.800& 2.400& 3.000\\ f(x)& 1.300& 1.383& 1.223& 0.919& 0.626& 0.435\end{array}$$ $$\begin{array}{crccccc}x& 0.400& 0.900& 1.400& 1.900& 2.400& 2.900\\ g(x)& 0.615& 0.810& 1.079& 1.425& 1.786& 1.993\end{array}$$

3. Considere os pontos tabelados $$\begin{array}{cccccccc}x& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ f(x)& 0.91& 1.43& 1.58& 1.55& 1.44& 1.30& 1.18\end{array}$$

1. Obtenha uma aproximação para o valor máximo de $f$ usando interpolação quadrática.
2. Usando interpolação quadrática aproxime a solução de $f(x)=1.15.$