A regra do trapézio é fácil de usar, mas será que é boa? Nesta aula vamos descobrir como estimar o erro na integração numérica e relacioná-lo com o tamanho do intervalo de integração.
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Qual a fonte de erro na aproximação da Regra do Trapézio?
A. A divisão do intervalo em subintervalos.
B. A estimativa da área do polinômio interpolador.
C. A interpolação da função.
Como a fórmula do erro de integração pode ser usada?
A. Para computar exatamente o erro cometido na integração numérica.
B. Para corrigir a integração numérica.
C. Para estimar o erro máximo de integração numérica.
Se o intervalo de integração é repartido em subintervalos regulares, podemos dizer que o erro de integração é
A. inversamente proporcionalmente a
B. diretamente proporcionalmente a
C. inversamente proporcionalmente a
D. diretamente proporcionalmente a
E. inversamente proporcionalmente a
A regra do trapézio para integração numérica consiste tão somente em aproximar a função por uma reta que a interpola nos extremos do intervalo de integração e depois computar a integral exata da reta, tomando esse valor como aproximação para o valor da integral da função.
Desta forma, o único passo onde foi feita uma aproximação foi no momento da interpolação. A fórmula do erro de interpolação é Logo Portanto, o erro de integração numérica é dado pelo valor da integral mais a direita em . Aqui surge uma dificuldade em computar essa integral. Mesmo que seja conhecida, o valor é de fato uma função (desconhecida) de . A alternativa é invocar o seguinte teorema .
Teorema: Seja uma função contínua e uma função integrável que não troca de sinal em . Então para algum .
No caso da integral mais a direita em , supondo que seja contínua, a função não troca de sinal no intervalo . Sendo assim, o teorema acima garante que onde representa algum ponto do intervalo . Isto demonstra que o erro de integração na regra do trapézio é proporcional à e depende da derivada segunda da função .
No caso da regra do trapézio composta, o erro de integração no intervalo completo é a soma dos erros de integração em cada subintervalo. No caso de uma partição regular, se representa a integral exata e a regra do trapézio composta, temos que onde usamos e representa um ponto no intervalo . Do ponto vista prático, como não é conhecido, esta fórmula é mais usada para fornecer majorantes para o erro de integração numérica, ou seja, onde . De fato, vale mesmo no caso em que os subintervalos não têm todos o mesmo comprimento, situação na qual representa o comprimento do maior subintervalo.
Como o erro de integração numérica é proporcional a (ou inversamente proporcional a ) dizemos que a regra do trapézio composta é uma regra de segunda ordem. No caso de regras para integração numérica, essa ordem não chega a ser uma maravilha. No exemplo do vídeo, vimos que foram precisos muitos pontos para conseguir uma precisão razoável.
Na próxima aula veremos uma regra de integração numérica consideravelmente melhor, e portanto dependendo de bem menos pontos para conseguir qualidade semelhante à obtida pela regra do trapézio composta.
1. Aproxime , usando 3 subintervalos.
Qual a estimativa para o erro?
Qual o erro de fato cometido?
Quantos pontos devem ser usados na regra do trapézio para garantir que o erro seja menor que ?
2. A integral de foi aproximada pela regra do trapézio composta, usando seu valores tabelados em 100 pontos regularmente espaçados no intervalo Qual o erro máximo esperado nessa aproximação?