Erro na regra do trapézio

A regra do trapézio para integração numérica consiste tão somente em aproximar a função por uma reta que a interpola nos extremos do intervalo de integração e depois computar a integral exata da reta, tomando esse valor como aproximação para o valor da integral da função.

$$ \int_a^b f(x)\, dx \approx \int_a^b p_1(x)\, dx. $$ Desta forma, o único passo onde foi feita uma aproximação foi no momento da interpolação. A fórmula do erro de interpolação é $$ f(x) = p_1(x) + {f''(\xi_x)\over 2!}(x-a)(x-b). $$ Logo \begin{equation}\label{erroi} \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b p_1(x)\, dx + \int_a^b {f''(\xi_x)\over 2!}(x-a)(x-b)\, dx. \end{equation} Portanto, o erro de integração numérica é dado pelo valor da integral mais a direita em \eqref{erroi}. Aqui surge uma dificuldade em computar essa integral. Mesmo que $f''$ seja conhecida, o valor $\xi_x$ é de fato uma função (desconhecida) de $x$. A alternativa é invocar o seguinte teorema .

Teorema: Seja $u$ uma função contínua e $v$ uma função integrável que não troca de sinal em $[a,b]$. Então $$ \int_a^b u(x)v(x)\, dx = u(c) \int_a^b v(x)\, dx, $$ para algum $c\in [a,b]$.

No caso da integral mais a direita em \eqref{erroi}, supondo que $f''$ seja contínua, a função $\omega(x) = (x-a)(x-b)$ não troca de sinal no intervalo $(a,b)$. Sendo assim, o teorema acima garante que $$ \int_a^b {f''(\xi_x)\over 2!}(x-a)(x-b)\, dx = {f''(\xi)\over 2}\int_a^b(x-a)(x-b)\, dx = - {(b-a)^3\over 12}f''(\xi), $$ onde $\xi$ representa algum ponto do intervalo $(a,b)$. Isto demonstra que o erro de integração na regra do trapézio é proporcional à $(b-a)^3$ e depende da derivada segunda da função $f$.

No caso da regra do trapézio composta, o erro de integração no intervalo completo é a soma dos erros de integração em cada subintervalo. No caso de uma partição regular, se $I$ representa a integral exata e $Q_{TC}[f]$ a regra do trapézio composta, temos que \begin{align*} I - Q_{TC}[f] &= - \sum_{j=1}^n {h^3\over 12}f''(\xi_j) \\ & = -{nh^3\over 12} \cdot \left[{1\over n}\sum_{j=1}^n f''(\xi_j)\right]\\ & = -{(b-a)h^2\over 12} f''(\xi), \end{align*} onde usamos $nh = (b-a)$ e $\xi$ representa um ponto no intervalo $(a,b)$. Do ponto vista prático, como $\xi$ não é conhecido, esta fórmula é mais usada para fornecer majorantes para o erro de integração numérica, ou seja, \begin{equation} \label{erro2} \left|I - Q_{TC}[f]\right| \le {(b-a)h^2\over 12} M_2, \end{equation} onde $M_2 = \|f''\|_\infty \equiv \max_{a\le x\le b} |f''(x)|$. De fato, \eqref{erro2} vale mesmo no caso em que os subintervalos não têm todos o mesmo comprimento, situação na qual $h$ representa o comprimento do maior subintervalo.

Como o erro de integração numérica é proporcional a $h^2$ (ou inversamente proporcional a $n^2$) dizemos que a regra do trapézio composta é uma regra de segunda ordem. No caso de regras para integração numérica, essa ordem não chega a ser uma maravilha. No exemplo do vídeo, vimos que foram precisos muitos pontos para conseguir uma precisão razoável.

Na próxima aula veremos uma regra de integração numérica consideravelmente melhor, e portanto dependendo de bem menos pontos para conseguir qualidade semelhante à obtida pela regra do trapézio composta.

1. Aproxime $\displaystyle{\int_2^3 {1 \over 1 + t}\: dt}$, usando 3 subintervalos.

1. Qual a estimativa para o erro?
2. Qual o erro de fato cometido?
3. Quantos pontos devem ser usados na regra do trapézio para garantir que o erro seja menor que $10^{-5}$?

2. A integral de $\cos x$ foi aproximada pela regra do trapézio composta, usando seu valores tabelados em 100 pontos regularmente espaçados no intervalo $[0,\pi/2].$ Qual o erro máximo esperado nessa aproximação?