Projeto: Bissecção

Neste projeto queremos estimar $x^{\ast }$ tal que $f(x^{\ast })=0$, onde $f$ é uma função contínua. Quando a função $f$ puder ser avaliada exatamente, podemos aplicar o método da bissecção, como descrito na aula passada.

Considere a situação em que a função seja avaliada com erro. Isso pode acontecer, por exemplo, quando a avaliação da função é feita experimentalmente, como resultado de um ensaio em laboratório ou da coleta de dados de campo. Imagine a situação em que a função $f$ mede uma quantidade física, como temperatura, pH, velocidade, entre outras. A acurácia dessas medidas depende da perícia do experimentalista e da qualidade e acurácia dos equipamentos de medição. Esses fatores comprometem a acurácia na avaliação da função $f$.

Termometro digital. Perceba que uma medida tomada com este equipamento fornece no máximo uma casa decimal.

Sabendo que âmago do método da bissecção é identificar intervalos onde há alternância de sinal no valor da função, neste projeto uma implementação do método deve ser feita, tomando o cuidado de identificar com confiabilidade os intervalos de alternância.

Considere, por exemplo, a função $\hat{f}(x)=f(x)+ϵ(x)$, onde $f(x)=\sin (x)$, $ϵ(x)$ retorna um valor aleatório limitado, ou seja, $|ϵ(x)|<0.1$ . Abaixo vemos o gráfico de $\hat{f}$ no intervalo $[0,2\pi ]$. Porém, como o $ϵ(x)$ retorna um valor aletório a cada momento, se tentarmos exibir novamente o gráfico de $\hat{f}$ obteremos outros erros.

Em preto, o gráfico da função $\hat{f},$ avaliada em três momentos. Em vermelho, o gráfico da função seno, avaliada sem erro. Perceba que os erros, apesar de limitados, não são previsíveis ou reprodutíveis. Para pausar a animação, posicione o mouse sobre a figura.

Detalhe das três avaliações de $\hat{f}$. Observe que o zero da função muda de posição em cada uma delas. Em cinza, está a faixa de largura vertical $0.1$, dentro da qual deve estar os valores exatos da função seno.

Observando as figuras acima, perceba que nem sempre é possível afirmar com segurança qual o sinal da função $f$, conhecendo o sinal de $\hat{f}.$

Para o desenvolvimento deste projeto, siga o roteiro, no menu lateral.

Estamos interessados estimar $x^{\ast }$ tal que $f(x^{\ast })=0$, para $f,$ uma função contínua. Suponha que a avaliação de $f$ esteja invariavelmente contaminada com algum erro uniformente distribuído no intervalo $[-{ϵ}_f,{ϵ}_f].$ Para simular isto numericamente, considere que $$\hat{f}(x)=f(x)+ϵ(x),$$ com $|ϵ(x)|\le {ϵ}_f,$ para algum valor ${ϵ}_f$ fixo e conhecido.

1. Teoricamente, seria possível iterar indefinidamente o método da bissecção aplicado à $\hat{f}(x),$ obtendo um intervalo de tamanho arbitrariamente pequeno contendo um zero de $f?$ Justifique sua resposta.
2. Sob que condição, os sinais de $\hat{f}(x)$ e $f(x)$ coincidem?
3. Seja $\hat{f}$, descrita no Octave como

   ef = 1e-1;
   # Função f:
   f = @(x) x.^3 - 4*x.^2 + 9*x + 4;
   # Função f experimental (com erro aleatório):
   ff = @(x) f(x) + 2 * ef * (rand(size(x))-0.5);
   

   Faça o gráfico de $\hat{f}$ (algumas vezes). Identifique um intervalo, de extremos inteiros, onde seguramente $\hat{f}$ troca de sinal. (Cuidado! Se você redefinir o valor de ef, isso não alterará automaticamente a definição de ff, implementação de $\hat{f}$, que deverá ser reexecutada para tornar-se ciente do novo valor.)
4. Supondo conhecido ${ϵ}_f,$ escreva um algoritmo para o método de bissecção e discuta qual seria um critério de parada adequado para este problema.
5. Implemente seu algoritmo como uma função do Octave. Aplique-o ao problema de determinar o zero de $\hat{f},$ como definida por ff em (c).
6. O que acontece quando valores menores de ef são usados? Verifique isto com experimentos. Comente seus resultados.
7. Suponha que você seja consultado por uma cientista experimental que desejasse determinar o zero de uma função, para a qual ela tem acesso apenas através de medidas de laboratório. Você decide auxiliá-la na resolução do problema. Pense em como você poderia auxiliá-la, o que você deveria perguntar e o que deveria explicar.