Equação de ponto fixo

Um tipo particular de equação não linear é $$\begin{array}{}\text{(1)}& \varphi (x)=x,\end{array}$$ onde $\varphi$ é uma função pelo menos contínua. Não precisamos de métodos numéricos específicos para essa equação, uma vez que ela pode ser facilmente convertida no formato com o qual vínhamos lidando até agora. Basta definir $f(x)\equiv \varphi (x)-x$. Com isso, a equação $\text{(1)}$ torna-se $f(x)=0.$ Apesar disso, será que não podemos tirar proveito desse formato particular para criar um método iterativo?

Um método iterativo deve produzir uma sequência $x_1,x_2,x_3,\dots$ que (esperamos) convirja para a $x_{\ast }$, um ponto que satisfaça a equação $\text{(1)}$. Se para o problema geral, $f(x)=0$, não é óbvio com gerar uma sequência de aproximações, no caso da equação $\text{(1)}$, há uma forma bem simples de criar uma sequência.

Considere, por exemplo a equação não linear $$x-e^{-x}=0⟺x=e^{-x}.$$ Assim, vamos definir $\varphi (x)\equiv e^{-x}$. Todo método numérico precisa de um ponto de partida, uma aproximação inicial. Que tal tentar $x_0=0$? Como queremos que $x=\varphi (x)$, vamos definir que $x_1$ como $$x_1=\varphi (x_0)=e^0=1.$$ Certamente $x_1$ não é solução de $\text{(1)}$. Com confiança, tentamos mais uma vez, definido $x_2=\varphi (x_1)$. Seguindo, desta forma, construímos a sequência $$x_k=\varphi (x_{k-1}),k=1,2,\dots$$ Veja o que acontece com os iterandos produzidos desta forma $$\begin{array}{rl}{x}_1& \approx 1.0000\\ x_2& \approx 0.3679\\ x_3& \approx 0.6922\\ x_4& \approx 0.5005\\ x_5& \approx 0.6062\\ x_6& \approx 0.5454\\ x_7& \approx 0.5796\\ x_8& \approx 0.5601\\ x_9& \approx 0.5711\\ x_{10}& \approx 0.5649\\ \cdots \\ x_{20}& \approx 0.5671\\ \cdots \\ x_{30}& \approx 0.5671\end{array}$$ Parece que essa sequência está convergindo. Se isto for mesmo verdade, ou seja, se $x_k\to x_{\ast }$, então $x_{\ast }$ tem que ser solução da equação não linear $\text{(1)}$. Para ver isso basta tomar o limite em ambos os lados da fórmula de iteração $$x_{\ast }=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_k=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\varphi (x_{k-1})=\varphi (\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{k-1})=\varphi (x_{\ast }).$$ Ainda para o exemplo acima, podemos fazer um gráfico exibindo o erro entre $x_k$ e $x_{\ast }$.

Pelo gráfico fica claro que a sequência esta convergindo para $x_{\ast }.$ Esse valor $x_{\ast }$ é dito ponto fixo da função $\varphi$ e a equação $\text{(1)}$ chama-se equação de ponto fixo.

Agora temos algumas perguntas pela frente. Será que uma equação de ponto fixo sempre tem solução? Se tiver solução, será que é única? Se tiver solução, será que a iteração descrita acima sempre convergirá?

A primeira pergunta é fácil. Não, nem sempre uma equação de ponto fixo tem solução. Como contraexemplo basta tomar a função $\varphi (x)=x+1$. Claramente não existe $x$ tal que $\varphi (x)=x$. Sobre a unicidade, deixo um exemplo para você mesmo perceber se é possível garanti-la ou não. Considere $\varphi (x)=x^2$. O que você acha? Quantos pontos fixos $\varphi$ tem?

Nos resta a última pergunta, ou seja, quando a iteração acima, conhecida como iteração de ponto fixo, converge? Bom, isso é assunto para outra aula.

Referências

Anne Greenbaum e Timothy P. Chartier. Numerical Methods: Design, Analysis, and Computer Implementation of Algorithm. Princeton University Press, 2012.

A. Quarteroni e F. Saleri. Cálculo Científico com MATLAB e Octave. Springer, 2007.

1. Verifique que o ponto fixo de uma função $\varphi$ pode ser interpretado como o ponto de intersecção entre o gráfico de $\varphi$ e o gráfico de $y=x$.

2. Para cada função abaixo, verifique se há ponto fixo.

1. $f(x)=e^{-x^2}$
2. $g(x)=x^2-3$
3. $h(x)=e^x$
4. $p(x)=\log (x^2+2)$
5. $q(x)=\sin (x)$
6. $r(x)=x/5+8$

3. Para cada função acima que admite ponto fixo, escolha um valor de $x_0$ e experimente computar as iterações de ponto fixo. Verifique se a interação está convergindo.