Polinômio de Taylor
A ferramenta mais útil na caixa de ferramentas do analista numérico
Vamos lá?
Os problemas que surgem em computação científica são complicados porque as funções de interesse acabam sendo complicadas mesmo. E se fosse possível trocar qualquer função por um polinômio? Tudo seria mais simples, né? Essa é esperança que os polinômios de Taylor nos trazem.
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Duas funções são tidas como parecidas se...
As mais diversas funções podem aparecem em problemas de computação científica. Algumas serão simples, mas outras certamente serão complicadas. Entretanto, para muitas aplicações pode ser suficiente e desejável utilizar uma aproximação razoável para a função, se esta aproximação se mostrar mais simples de ser manipulada que a função original.
Por exemplo, suponha que você não tem uma calculadora (ou celular!) à mão e precise computar o valor de
Em geral, dada uma função
Seja
Para determinar
A figura abaixo exibe sucessivos polinômios de Taylor (em vermelho) para uma função (em preto).
Perceba que quão maior é o grau do polinômio, melhor ele aproxima a função. Porém, mesmo considerando um polinômio de grau 7, fica evidente que a aproximação só pode ser tomada como satisfatória até a metade do intervalo exibido. O teorema abaixo apresenta uma expressão para o erro de aproximação.
Teorema de Taylor: Seja
Deste teorema percebemos que quanto menor é
Claramente a escolha de
Ao longo deste curso on-line, os polinômios de Taylor serão usados várias vezes, por exemplo em métodos para resolução de equações não lineares, no cálculo de aproximações numéricas para derivadas, ou em métodos numéricos para equações diferenciais.
1. Construa o polinômio de Taylor de grau
(a)
(b)
(c)
2. Suponha que
-
para todo e -
para todo e -
para todo e
Se estiver inseguro sobre as afirmações acima, faça alguns experimentos exploratórios primeiro. Por exemplo, será que as afirmações acima seriam verdadeiras ou falsas no caso de
3. Considere a função
- Apresente a expressão analítica para
- Construa um programa que avalie
- Para
determine empiricamente o menor para o qual para todo - Repita o item anterior, mas agora considerando
4. Deduza que